Ответ:
1. В октябре за туманами где-то затерялось недавнее лето.
Грамматическая основа: лето затерялось.
2. На другой день, в воскресенье ко мне пришли ребята и позвали играть в бабки.
Грамматическая основа: ребята пришли, позвали.
3. Едет парень верхом.
Грамматическая основа: парень едет.
4. Небыстро сбежав со ступенек, шла женщина мимо беседок.
Грамматическая основа: женщина шла.
5. Из-за шума падающего дождя ничего не было слышно.
Грамматическая основа: ничего не было слышно (безличный оборот).
6. Налетел ветерок, прошумел по осоке, всколыхнул озёрную гладь.
Грамматическая основа: ветерок налетел, прошумел, всколыхнул.
7. За рекой поднялась тёмная туча, а над землёй вдруг пронёсся сильный вихрь.
Грамматическая основа: туча поднялась, вихрь пронёсся.
8. Непрерывно трещали кузнечики, пели перепела, вдали лениво посвистывали соловьи.
Грамматическая основа: кузнечики трещали, пели, посвистывали.
9. Варенька бросилась навстречу своей старой приятельнице, княгиня поцеловала её.
Грамматическая основа: Варенька бросилась, княгиня поцеловала.
10. Задремали звёзды золотые, задрожало зеркало затона, брезжит свет на заводи речные, румянит сетку небосклона. (С. Есенин.)
Грамматическая основа: звёзды задремали, зеркало задрожало, свет брезжит, (солнце) румянит.
11. Мы сидели за летним столиком, пили чай, делились новостями.
Грамматическая основа: Мы сидели, пили, делились.
12. А рядом на клумбе полыхал большой ковёр маков.
Грамматическая основа: ковёр полыхал.
13. При первом рассвете выходим по одному в разные стороны в ельник за белками.
Грамматическая основа: (мы) выходим.
14. Собирают клюкву поздней осенью.
Грамматическая основа: (они) собирают (безличное предложение).
