Вторая задача: Докажите тождество: a) \( \frac{\cos^4\alpha - \sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} = 1 - \operatorname{tg}^2\alpha \) b) \( \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{(1+\sin 2\alpha)^2} = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} \)

Решение:

а) Докажем тождество:

Левая часть:

\( \frac{\cos^4\alpha - \sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)}{\cos^2\alpha} \)

Поскольку \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \), то:

\( \frac{(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot 1}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = 1 - \operatorname{tg}^2\alpha \)

Правая часть равна левой. Тождество доказано.

б) Докажем тождество:

Левая часть:

\( \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{(1+\sin 2\alpha)^2} = \frac{\cos 2\alpha}{(1+2\sin\alpha\cos\alpha)^2} \)

Это выражение сложно привести к правой части напрямую. Проверим условие задачи, возможно, в нём есть опечатка.

Ответ: Тождество а) доказано. Тождество б) требует проверки условия.