Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем — числа, сумма цифр которых равна 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3 и т. д. На каком месте оказалось число 996?

Число 996 имеет сумму цифр \(9+9+6=24\). Значит, перед ним записаны все числа с суммой цифр от 1 до 23.

Для чисел от 1 до 999 удобно рассматривать трёхзначные записи с ведущими нулями. Количество чисел с суммой цифр \(s\) равно коэффициенту при \(x^s\) в выражении \((1+x+\dots+x^9)^3\). Для \(s\leq 9\): \(\binom{s+2}{2}\), а при \(10\leq s\leq 18\): \(\binom{s+2}{2}-3\binom{s-8}{2}\); далее используется симметрия количества наборов цифр: число наборов с суммой \(s\) равно числу наборов с суммой \(27-s\).

Сумма количеств чисел с суммами цифр от 1 до 23:

\[\sum_{s=1}^{9}\binom{s+2}{2}+\sum_{s=10}^{18}\left(\binom{s+2}{2}-3\binom{s-8}{2}\right)+\sum_{s=19}^{23}N_s=999,\]

где \(N_{19}=36,\ N_{20}=28,\ N_{21}=21,\ N_{22}=15,\ N_{23}=10\). Получаем \(999\). Это все числа от 1 до 999, кроме тех, чьи суммы цифр равны 0 или 24–27.

В группе с суммой цифр 24 числа располагаются по возрастанию. Число 996 — первое число этой группы, так как меньших положительных чисел с суммой цифр 24 нет: для трёхзначного числа с суммой 24 минимально возможная первая цифра — 9, затем минимально возможная вторая цифра — 9, поэтому число равно 996.

Следовательно, после 999 чисел предыдущих групп число 996 занимает место \(999+1=1000\).

Ответ: 1000-е место.