ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 3√2.

Решение:

1. Анализ условия:
   • Трапеция прямоугольная, значит, углы при основании AD прямые (90°).
   • AC — биссектриса угла A, значит, делит угол A (45°) на два угла по 22.5°.
   • BC — меньшее основание.
   • Дано: BC = 3√2.
2. Геометрические построения и свойства:
   • Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD.
   • Так как трапеция прямоугольная, BH = CD, а AD = AB + HD.
   • Рассмотрим треугольник ABH: угол BAH = 45°, угол ABH = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABH — равнобедренный, AB = BH.
   • Так как BC — меньшее основание, то BC = HD.
   • Из этого следует, что AB = BH = BC = HD = 3√2.
3. Нахождение диагонали BD:
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD.
   • Катеты: BH = 3√2, HD = 3√2.
   • По теореме Пифагора: BD² = BH² + HD²
   • BD² = (3√2)² + (3√2)² = (9 * 2) + (9 * 2) = 18 + 18 = 36.
   • BD = √36 = 6.

Финальный ответ:

Ответ: 6