ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 18 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 5√2.

Дано:

• Трапеция ABCD — прямоугольная.
• AD || BC (основания).
• AC — биссектриса угла A.
• ∠A = 45°.
• BC = 5√2.

Найти: BD.

Решение:

1. Так как AC — биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45°.

2. В прямоугольной трапеции ABCD, AB ⊥ AD и AB ⊥ BC.

3. Так как AD || BC и AC — секущая, то ∠BCA = ∠CAD (как накрест лежащие углы). Следовательно, ∠BCA = 45°.

4. Рассмотрим △ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠ABC = 90° (по условию, трапеция прямоугольная). ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.

   45° + 45° + 90° = 180°.

   Это означает, что △ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник, где AB = BC.

5. Так как BC = 5√2, то AB = 5√2.

6. Теперь рассмотрим △ABD. ∠BAD = 45° (по условию). ∠ABD = 90° (трапеция прямоугольная).

7. Так как ∠BAD = 45° и ∠ABD = 90°, то △ABD — равнобедренный прямоугольный треугольник, где AB = AD.

8. Следовательно, AD = 5√2.

9. Теперь найдем длину диагонали BD. В прямоугольном △ABD, по теореме Пифагора:

   \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \]

   \[ BD^2 = (5√2)^2 + (5√2)^2 \]

   \[ BD^2 = (25 × 2) + (25 × 2) \]

   \[ BD^2 = 50 + 50 \]

   \[ BD^2 = 100 \]

   \[ BD = √100 \]

   \[ BD = 10 \]

Ответ: 10