ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 80025 Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найди расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 14.

Дано:

• Окружность с центром O.
• Касательные MA и MB.
• \[ \angle AOB = 120^{\circ} \]
• \[ MO = 14 \]

Найти:

• Расстояние между точками касания AB.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник MAO. Так как MA — касательная, то радиус OA перпендикулярен касательной. Следовательно, \[ \angle MAO = 90^{\circ} \].

2. В треугольнике MAO, MO — гипотенуза. По теореме Пифагора: \[ MA^2 + OA^2 = MO^2 \]

3. Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB (радиусы окружности). Треугольник AOB — равнобедренный. Так как \[ \angle AOB = 120^{\circ} \], то углы при основании равны: \[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \]

4. В треугольнике MAO, \[ \angle MOA = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \] (так как MO является биссектрисой \[ \angle AMB \] и высотой в равнобедренном треугольнике AOB).

5. Теперь найдем длину радиуса OA в прямоугольном треугольнике MAO, используя тригонометрию:

   • \[ \sin(\angle MOA) = \frac{MA}{MO} \quad \Rightarrow \quad MA = MO \cdot \sin(\angle MOA) = 14 \cdot \sin(60^{\circ}) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \]

   • \[ \cos(\angle MOA) = \frac{OA}{MO} \quad \Rightarrow \quad OA = MO \cdot \cos(\angle MOA) = 14 \cdot \cos(60^{\circ}) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \]

6. Теперь найдем длину MA, используя теорему Пифагора: \[ MA^2 = MO^2 - OA^2 = 14^2 - 7^2 = 196 - 49 = 147 \] \[ MA = \sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3} \] (Это совпадает с предыдущим расчетом).

7. Рассмотрим треугольник AOB. Мы знаем OA, OB и \[ \angle AOB \]. Найдем длину хорды AB, используя теорему косинусов: \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) \] \[ AB^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(120^{\circ}) \] \[ AB^2 = 49 + 49 - 2 \cdot 49 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ AB^2 = 98 + 49 = 147 \] \[ AB = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \]

Ответ:
$$7\sqrt{3}$$