ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 17 Найдите значение выражения √4√5+9-√5. Решение.

Решение:

Нужно найти значение выражения: \[ \sqrt{4\sqrt{5}+9}-\sqrt{5} \]

Давай упростим выражение под корнем. Попробуем представить его в виде квадрата суммы или разности:

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

или \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

В нашем случае есть член $$2ab$$. В выражении под корнем у нас есть $$4\sqrt{5}$$. Это можно представить как $$2 \times 2 \times \sqrt{5}$$.

Пусть $$a = 2$$, а $$b = \sqrt{5}$$. Тогда:

\[ a^2 = 2^2 = 4 \] \[ b^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 \] \[ 2ab = 2 \times 2 \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \]

Сложим их:

\[ a^2 + 2ab + b^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5} \]

Это точно совпадает с выражением под корнем! Значит, \[ \sqrt{4\sqrt{5}+9} = \sqrt{(2+\sqrt{5})^2} \]

Так как $$2+\sqrt{5}$$ — это положительное число, то квадратный корень из его квадрата равен самому числу:

\[ \sqrt{(2+\sqrt{5})^2} = 2+\sqrt{5} \]

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ \sqrt{4\sqrt{5}+9}-\sqrt{5} = (2+\sqrt{5}) - \sqrt{5} \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2 \]

Ответ: 2