ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2. Номер 17. Найдите значение выражения: \(\sqrt{\frac{4-8\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}} - \sqrt{5}\)

Решение:

1. Избавимся от иррациональности в знаменателе подкоренного выражения:
   Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение знаменателю \(1 - \sqrt{5}\), то есть на \(1 + \sqrt{5}\).
   \[ \frac{4-8\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = \frac{(4-8\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})} = \frac{4 + 4\sqrt{5} - 8\sqrt{5} - 8\cdot 5}{1^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4 - 4\sqrt{5} - 40}{1 - 5} = \frac{-36 - 4\sqrt{5}}{-4} = 9 + \sqrt{5} \]
2. Подставим полученное значение под корень:
   \[ \sqrt{\frac{4-8\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}} = \sqrt{9 + \sqrt{5}} \]
3. Упростим выражение, вычитая $$\sqrt{5}$$:
   \[ \sqrt{9 + \sqrt{5}} - \sqrt{5} \]

Примечание: Приведенное выражение \(\sqrt{9 + \sqrt{5}}\ не имеет простого числового представления в виде рационального числа или его корня. Однако, если предположить, что в условии была опечатка и вместо \(4-8\sqrt{5}\) должно быть, например, \(9-4\sqrt{5}\), то решение было бы следующим:

Альтернативное решение (при допущении опечатки):

Предположим, выражение под корнем было \(\frac{9-4\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\).

1. Упростим числитель: \(9-4\sqrt{5} = 9 - 2  2  \sqrt{5} = (2)^2 - 2  2  \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (2-\sqrt{5})^2\)
2. Подставим в дробь: \(\frac{(2-\sqrt{5})^2}{1-\sqrt{5}}\). Это также не упрощается до целочисленного значения под корнем.

Рассмотрим еще один вариант, если подкоренное выражение было $$9 - \sqrt{5}$$

1. Вычислим: \(\sqrt{9-\sqrt{5}} - \sqrt{5}\). Это также не упрощается до простого значения.

Если предположить, что в выражении было $$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$$

1. Упростим корень: \(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{9 - 2\sqrt{20}} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{4} + (2)^2} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = \sqrt{5}-2\)
2. Вычислим: \((\sqrt{5}-2) - \sqrt{5} = -2\)

Оригинальное решение без предположений об опечатке:

Выражение \(\sqrt{9 + \sqrt{5}} - \sqrt{5}\) не поддается дальнейшему простому упрощению без использования приближенных значений.

Ответ: $$\sqrt{9 + \sqrt{5}} - \sqrt{5}$$