ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2. Код 80019. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60°, MA=9. Решение.

Решение:

1. Геометрические свойства: Касательные МА и МВ к окружности с центром О равны (MA = MB = 9). Треугольник МАВ равнобедренный.
2. Свойства касательной и радиуса: Радиусы ОА и ОВ перпендикулярны касательным МА и МВ соответственно. Это означает, что \(\angle OAM = \angle OBM = 90°\).
3. Треугольник ОАМ: В прямоугольном треугольнике ОАМ, по теореме Пифагора, \(OM^2 = OA^2 + MA^2\).
4. Рассмотрим треугольник ОАВ: Так как ОА и ОВ — радиусы, а МА и МВ — касательные, то треугольник ОАВ равнобедренный. Угол \(\angle AOB = 60°\) дан по условию.
5. Вывод: Поскольку \(\angle AOB = 60°\) и треугольник ОАВ равнобедренный (ОА = ОВ), то он является равносторонним. Следовательно, ОА = ОВ = АВ.
6. Поиск расстояния: Известно, что МА = 9. Рассмотрим треугольник ОАМ. Так как \(\angle OAM = 90°\) и \(\angle AOB = 60°\), то \(\angle MOA = \frac{1}{2} \angle AOB = 30°\).
7. Используем тригонометрию: В прямоугольном треугольнике ОАМ: \( MA = OA \tan(\angle MOA) \).
8. Подставляем известные значения: \( 9 = OA \tan(30°) \).
9. Вычисляем радиус: \( OA = \frac{9}{\tan(30°)} = \frac{9}{1/\sqrt{3}} = 9\sqrt{3} \).
10. Расстояние АВ: Так как треугольник ОАВ равносторонний, то АВ = ОА = \(9\sqrt{3}\).

Ответ: Расстояние между точками касания А и В равно \(9\sqrt{3}\).