ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Код 800 78 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 714 км, выехал первый автомобиль. Через 2 часа вслед за ним из пункта А выехал второй автомобиль со скоростью на 16 км/ч больше скорости первого. Найдите скорость второго автомобиля, если он прибыл в пункт В одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч. Решение.

Разбираем задачу вместе!

Привет! Давай решим эту задачку по математике. Она про машины, которые едут из одного пункта в другой. Кажется, что это сложно, но если разбить на шаги, всё получится!

Условие задачи

Есть два автомобиля, которые едут из пункта А в пункт В. Расстояние между этими пунктами — 714 км.

Первый автомобиль выехал первым.

Второй автомобиль выехал через 2 часа после первого. Его скорость на 16 км/ч больше, чем у первого.

Оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно.

Нам нужно найти скорость второго автомобиля.

Дано:

• Расстояние \( S = 714 \) км.
• Разница во времени старта: \( \Delta t = 2 \) часа.
• Разница в скорости: \( v_2 - v_1 = 16 \) км/ч.
• Время в пути у обоих автомобилей одинаковое, потому что они прибыли одновременно.

Найти:

• Скорость второго автомобиля \( v_2 \).

Решение:

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится формула связи расстояния, скорости и времени: Расстояние = Скорость × Время, или \( S = v \times t \).

Из этой формулы мы можем выразить время: \( t = \frac{S}{v} \).

Давай обозначим:

• Скорость первого автомобиля как \( v_1 \) км/ч.
• Скорость второго автомобиля как \( v_2 \) км/ч.
• Время в пути первого автомобиля как \( t_1 \) часа.
• Время в пути второго автомобиля как \( t_2 \) часа.

Теперь запишем наши условия в виде уравнений:

1. Условие про разницу в скорости: \( v_2 = v_1 + 16 \)
2. Условие про одновременное прибытие: \( t_1 = t_2 \)

Теперь используем формулу времени \( t = \frac{S}{v} \) для каждого автомобиля:

• Для первого автомобиля: \( t_1 = \frac{714}{v_1} \)
• Для второго автомобиля: \( t_2 = \frac{714}{v_2} \)

Так как \( t_1 = t_2 \), мы можем приравнять эти выражения:

\( \frac{714}{v_1} = \frac{714}{v_2} \)

Но это не совсем так! Второй автомобиль выехал на 2 часа позже. Это значит, что первый автомобиль ехал на 2 часа дольше, чем второй. То есть:

\( t_1 = t_2 + 2 \)

Теперь подставим выражения для времени:

\( \frac{714}{v_1} = \frac{714}{v_2} + 2 \)

Мы знаем, что \( v_1 = v_2 - 16 \) (мы выразили \( v_1 \) из первого условия). Подставим это в наше уравнение:

\( \frac{714}{v_2 - 16} = \frac{714}{v_2} + 2 \)

Теперь нужно решить это уравнение относительно \( v_2 \). Чтобы избавиться от дробей, умножим всё на \( v_2 \) и \( (v_2 - 16) \):

\[ 714 \times v_2 = 714 \times (v_2 - 16) + 2 \times v_2 \times (v_2 - 16) \]

Раскроем скобки:

\[ 714 v_2 = 714 v_2 - 714 \times 16 + 2 v_2^2 - 32 v_2 \]

Сократим \( 714 v_2 \) с обеих сторон:

\[ 0 = - 714 \times 16 + 2 v_2^2 - 32 v_2 \]

Вычислим \( 714 \times 16 \):

\( 714 \times 16 = 11424 \)

Получаем квадратное уравнение:

\[ 2 v_2^2 - 32 v_2 - 11424 = 0 \]

Разделим всё на 2, чтобы упростить:

\[ v_2^2 - 16 v_2 - 5712 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=1, b=-16, c=-5712 \).

\[ D = (-16)^2 - 4 \times 1 \times (-5712) \]

\[ D = 256 + 22848 \]

\[ D = 23104 \]

Найдем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{23104} = 152 \]

Теперь найдем значения \( v_2 \) по формуле \( v_2 = \frac{-b  \sqrt{D}}{2a} \):

Первый корень:

\[ v_2 = \frac{-(-16) + 152}{2 \times 1} = \frac{16 + 152}{2} = \frac{168}{2} = 84 \]

Второй корень:

\[ v_2 = \frac{-(-16) - 152}{2 \times 1} = \frac{16 - 152}{2} = \frac{-136}{2} = -68 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень.

Значит, скорость второго автомобиля \( v_2 = 84 \) км/ч.

Давай проверим:

• Если \( v_2 = 84 \) км/ч, то \( v_1 = 84 - 16 = 68 \) км/ч.
• Время первого автомобиля: \( t_1 = \frac{714}{68} = 10.5 \) часа.
• Время второго автомобиля: \( t_2 = \frac{714}{84} = 8.5 \) часа.
• Разница во времени: \( t_1 - t_2 = 10.5 - 8.5 = 2 \) часа. Это совпадает с условием задачи!

Ответ:

Скорость второго автомобиля равна 84 км/ч.