ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2. Решите уравнение (3x + 5)² = (2x−1)².

Задание: Решить уравнение

Нужно решить следующее уравнение:

\[ (3x + 5)^2 = (2x - 1)^2 \]

Решение:

Есть два основных способа решить это уравнение:

1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
   Раскроем квадраты в обеих частях:

   \[ (9x^2 + 30x + 25) = (4x^2 - 4x + 1) \]

   Теперь перенесём всё в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0:

   \[ 9x^2 + 30x + 25 - 4x^2 + 4x - 1 = 0 \]

   Приведём подобные слагаемые:

   \[ (9x^2 - 4x^2) + (30x + 4x) + (25 - 1) = 0 \]

   \[ 5x^2 + 34x + 24 = 0 \]

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D = b² - 4ac):

   • a = 5, b = 34, c = 24
   • \( D = 34^2 - 4 \cdot 5 \cdot 24 = 1156 - 480 = 676 \)
   • \( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \)

   Найдём корни уравнения:

   \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 \pm 26}{2 \cdot 5} = \frac{-34 \pm 26}{10} \]

   Первый корень:

   \[ x_1 = \frac{-34 + 26}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8 \]

   Второй корень:

   \[ x_2 = \frac{-34 - 26}{10} = \frac{-60}{10} = -6 \]

2. Использовать свойство разности квадратов.
   Перенесём правую часть в левую и применим формулу \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ (3x + 5)^2 - (2x - 1)^2 = 0 \]

Применим формулу разности квадратов, где \( a = (3x + 5) \) и \( b = (2x - 1) \):

\[ ((3x + 5) - (2x - 1)) \cdot ((3x + 5) + (2x - 1)) = 0 \]

Упростим выражения в скобках:

\[ (3x + 5 - 2x + 1) \cdot (3x + 5 + 2x - 1) = 0 \]

\[ (x + 6) \cdot (5x + 4) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

1. \( x + 6 = 0 \) → \( x = -6 \)
2. \( 5x + 4 = 0 \) → \( 5x = -4 \) → \( x = -\frac{4}{5} = -0.8 \)

Оба метода дали одинаковые корни.

Ответ: корни уравнения: -6 и -0.8.