ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2. 17. Найдите значение выражения (23-24√2)/(1-√2). Решение.

Привет! Давай разберем это задание по математике.

У нас есть выражение:

\[ \frac{23 - 24\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \]

Чтобы упростить его, мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное к \(1 - \sqrt{2}\) — это \(1 + \sqrt{2}\).

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на \(1 + \sqrt{2}\).

• Числитель:

\[ (23 - 24\sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) \]

Раскроем скобки по правилу "фонтанчик" (каждый член первой скобки умножается на каждый член второй):

\[ 23 \cdot 1 + 23 \cdot \sqrt{2} - 24\sqrt{2} \cdot 1 - 24\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \]

\[ 23 + 23\sqrt{2} - 24\sqrt{2} - 24 \cdot 2 \]

\[ 23 + 23\sqrt{2} - 24\sqrt{2} - 48 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (23 - 48) + (23\sqrt{2} - 24\sqrt{2}) \]

\[ -25 - \sqrt{2} \]

• Знаменатель:

\[ (1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) \]

Это формула разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):

\[ 1^2 - (\sqrt{2})^2 \]

\[ 1 - 2 \]

\[ -1 \]

Шаг 2: Делим полученный числитель на знаменатель.

Теперь у нас есть:

\[ \frac{-25 - \sqrt{2}}{-1} \]

Делим каждый член числителя на -1:

\[ \frac{-25}{-1} + \frac{-\sqrt{2}}{-1} \]

\[ 25 + \sqrt{2} \]

Ответ:

25 + √2