ВПР. Математика. 8 класс. Базовый уровень. Образец 11 На рисунке изображён граф. Аня обвела этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни по одному ребру дважды. С какой вершины Аня начала обводить граф, если она закончила его обводить в вершине E? Ответ:

Решение:

Задача на теорию графов. Аня обводит граф, не отрывая карандаша и не проводя по одному ребру дважды. Это означает, что она проходит по каждому ребру ровно один раз.

В теории графов есть понятие Эйлерова пути (или Эйлеровой цепи) – это путь, который проходит по каждому ребру графа ровно один раз.

Условие существования Эйлерова пути:

1. Эйлеров путь существует в связном графе тогда и только тогда, когда число вершин с нечетной степенью (т.е. число ребер, выходящих из вершины) равно 0 или 2.
2. Если число вершин с нечетной степенью равно 0, то Эйлеров путь является Эйлеровым циклом (начинается и заканчивается в одной и той же вершине).
3. Если число вершин с нечетной степенью равно 2, то Эйлеров путь начинается в одной из этих вершин и заканчивается в другой.

Анализ графа на рисунке:

Рассмотрим вершины графа и степень каждой вершины (количество выходящих из нее ребер):

• Вершина A: степень 3 (ребра AB, AC, AE) – нечетная.
• Вершина B: степень 4 (ребра BA, BC, BD, BE) – четная.
• Вершина C: степень 3 (ребра CA, CB, CD) – нечетная.
• Вершина D: степень 4 (ребра DB, DC, DE, DF) – четная.
• Вершина E: степень 3 (ребра EA, EB, ED) – нечетная.
• Вершина F: степень 2 (ребра FD, FC) – четная.

В данном графе 4 вершины с нечетной степенью (A, C, E). По условию задачи, Аня прошла по каждому ребру ровно один раз, но при этом в графе 4 вершины с нечетной степенью. Это означает, что Эйлерова пути в классическом понимании (пройти все ребра ровно 1 раз) для данного графа не существует, если считать, что начальная и конечная вершины могут быть разными. Однако, задача подразумевает, что такой путь возможен.

Переосмыслим условие:

Задача сформулирована так, будто такой обход возможен. Возможно, граф на рисунке является частью большей структуры, или же есть опечатка в условии/рисунке. Если предположить, что такой обход Аней возможен, то согласно теореме Эйлера, начальная и конечная вершины должны иметь нечетную степень.

По условию, Аня закончила обводить граф в вершине E. Вершина E имеет нечетную степень (3). Следовательно, она должна быть либо начальной, либо конечной вершиной (если бы их было две).

Из рисунка видно, что вершины A, C, E имеют нечетную степень.

Если Аня закончила в E (нечетная степень), то она должна была начать в другой вершине с нечетной степенью, чтобы общий путь был возможен (т.е. в A или C).

Проверка:

Если начать в A (нечетная степень) и закончить в E (нечетная степень), то путь может существовать, если все остальные вершины имеют четную степень. Но у нас еще C имеет нечетную степень.

Возможное интерпретация:

Путь, который Аня проделала, является *непрерывным* (не отрывая карандаша) и *без повторения ребер*. Цель — найти стартовую вершину, если конечная — E.

Для существования пути, который проходит по каждому ребру ровно один раз, граф должен иметь 0 или 2 вершины с нечетной степенью.

В нашем графе 4 вершины с нечетной степенью (A, C, E).

Если задача корректна, и Аня прошла граф, то она должна была закончить в одной из вершин с нечетной степенью (если бы их было две) или в той же вершине, в которой начала (если их 0). Но у нас 4 таких вершины.

Ключевой момент: