ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 1. Часть 2 Решите систему уравнений 5x - 7y = 10, 14y - 10x = -20. Решение.

Привет! Давай решим эту систему уравнений вместе!

У нас есть система:

• 1) \( 5x - 7y = 10 \)
• 2) \( 14y - 10x = -20 \)

Смотри, во втором уравнении переменные \( x \) и \( y \) стоят не по порядку. Давай его немного преобразуем, чтобы было понятнее. Поменяем местами слагаемые:

\[ -10x + 14y = -20 \]

Теперь первое уравнение умножим на 2, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными:

\[ 2 \cdot (5x - 7y) = 2 \cdot 10 \]

\[ 10x - 14y = 20 \]

Теперь у нас получилась новая система:

• 1') \( 10x - 14y = 20 \)
• 2') \( -10x + 14y = -20 \)

А теперь сложим эти два уравнения (1' и 2'):

\[ (10x - 14y) + (-10x + 14y) = 20 + (-20) \]

\[ 10x - 14y - 10x + 14y = 0 \]

\[ 0 = 0 \]

Что это значит? А это значит, что наша система имеет бесконечно много решений! Любая пара \( (x, y) \), удовлетворяющая одному из уравнений, будет решением всей системы.

Давай найдем одно из таких решений. Возьмем первое уравнение \( 5x - 7y = 10 \) и выразим \( x \) через \( y \):

\[ 5x = 10 + 7y \]

\[ x = \frac{10 + 7y}{5} \]

Теперь подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение \( 14y - 10x = -20 \):

\[ 14y - 10 \left( \frac{10 + 7y}{5} \right) = -20 \]

Сократим 10 и 5:

\[ 14y - 2 (10 + 7y) = -20 \]

\[ 14y - 20 - 14y = -20 \]

\[ -20 = -20 \]

Снова получили верное равенство. Это подтверждает, что у системы бесконечное множество решений.

Чтобы записать ответ, можно выразить одну переменную через другую, например, \( x \) через \( y \) из первого уравнения:

\[ x = \frac{10 + 7y}{5} \]

Тогда любое решение можно представить в виде \( \left( \frac{10 + 7y}{5}; y \right) \), где \( y \) — любое действительное число.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений. Общее решение можно записать в виде: \( x = \frac{10 + 7y}{5} \) (где \( y \) — любое действительное число) или \( y = \frac{10 - 5x}{-7} \) (где \( x \) — любое действительное число).