ВПР. Математика. 6 класс. Вариант 2. Часть 2. В мешке находится 21 белая перчатка и 26 чёрных перчаток. Перчатки достают из мешка парами. Если достали пару перчаток одного цвета, то в мешок кладут чёрную перчатку. Если достали пару перчаток разного цвета, то в мешок кладут белую перчатку. Какого цвета окажется перчатка, которая останется в мешке последней?

Решение:

Задача решается методом исключения и анализа состояний мешка.

1. Начальное состояние: В мешке 21 белая (Б) и 26 чёрных (Ч) перчаток.
2. Процесс: Перчатки достаются парами.
3. Правила изменения:
   • Пара одного цвета (ББ или ЧЧ): достали пару, добавляется Ч.
   • Пара разного цвета (БЧ): достали пару, добавляется Б.
4. Анализ четности:
   • Количество белых перчаток (21) — нечетное.
   • Количество чёрных перчаток (26) — четное.
5. Рассмотрим крайние случаи:
• Если последней достается пара белых перчаток (что невозможно, так как их нечетное количество, и при извлечении пары останется одна белая, а не ноль), то последняя белая останется.
• Если последней достается пара черных перчаток, то в мешке останутся только белые.
• Если последней достается пара разного цвета, то добавляется белая.
6. Ключевое наблюдение: Заметим, что каждый раз, когда мы достаем пару перчаток, общее количество перчаток уменьшается на 2 (если добавляется другая перчатка). Количество белых перчаток меняется следующим образом:
   • Если достали ББ, количество белых не меняется, но добавляется Ч.
   • Если достали ЧЧ, количество белых не меняется, но добавляется Ч.
   • Если достали БЧ, количество белых уменьшается на 1, но добавляется Б.
7. Цель: остаться последней перчатке. Это произойдет, когда в мешке останется ровно одна перчатка.
8. Рассмотрим действие, которое гарантированно уменьшает количество белых перчаток: это доставание пары разного цвета (БЧ), после чего добавляется белая.
9. Представим, что мы всегда достаем пару разного цвета (БЧ). Тогда количество белых перчаток будет уменьшаться на 1, а количество чёрных — на 1, и при этом будет добавляться одна белая. Суммарно белых становится на 0, а черных на 1 меньше. Это не помогает.
10. Переосмыслим правило: "Если достали пару перчаток одного цвета, то в мешок кладут чёрную перчатку. Если достали пару перчаток разного цвета, то в мешок кладут белую перчатку."
11. Применим правило к общему количеству белых перчаток:
    • Пара одного цвета (например, ЧЧ): 26 Ч, 21 Б. Достали ЧЧ, осталось 24 Ч, 21 Б. Добавили Ч. Итого: 25 Ч, 21 Б. Количество белых не изменилось.
    • Пара разного цвета (БЧ): 21 Б, 26 Ч. Достали БЧ, осталось 20 Б, 25 Ч. Добавили Б. Итого: 21 Б, 25 Ч. Количество белых увеличилось на 1.
12. Обратим внимание на нечетность количества белых перчаток. Если мы достаем пару разного цвета (БЧ), то количество белых перчаток уменьшается на 1 (21 -> 20), а затем добавляется 1 белая. Итого: количество белых не меняется.
13. Если мы достаем пару одного цвета (ЧЧ): осталось 24 Ч, 21 Б. Добавили Ч. Стало 25 Ч, 21 Б. Количество белых не изменилось.
14. Что если достали ББ? 21 Б, 26 Ч. Достали ББ, осталось 19 Б, 26 Ч. Добавили Ч. Итого: 19 Б, 27 Ч. Количество белых уменьшилось на 2.
15. Ключевой момент: количество белых перчаток (21) нечетное. Любая операция, которая не меняет четность количества белых, приведет к тому, что оно останется нечетным. Если мы достаем пару ББ, количество белых уменьшается на 2 (21 -> 19), что тоже оставляет его нечетным.
16. Рассмотрим, что происходит с количеством Б:
    • Извлечение БЧ: Б -> Б-1, Ч -> Ч-1. Затем добавление Б: Б -> (Б-1)+1 = Б. Ч -> Ч-1. Итог: Б не меняется, Ч уменьшается на 1.
    • Извлечение ЧЧ: Ч -> Ч-2. Затем добавление Ч: Ч -> (Ч-2)+1 = Ч-1. Итог: Б не меняется, Ч уменьшается на 1.
    • Извлечение ББ: Б -> Б-2. Затем добавление Ч: Ч -> Ч+1. Итог: Б уменьшается на 2, Ч увеличивается на 1.
17. Главная идея: Количество белых перчаток может меняться только в одном случае – когда достают пару белых (ББ). В этом случае количество белых уменьшается на 2. Так как начальное количество белых (21) нечетное, оно всегда будет оставаться нечетным после любой операции.
18. Следовательно: Когда в мешке останется последняя перчатка, она должна быть белой, так как количество белых перчаток всегда остается нечетным.

Ответ: Белая