ВПР. Математика. 5 класс. Вариант 1. Часть 2 Код Через пункты А и Б, расстояние между которыми 145 км, проходит прямолинейное шоссе. Из пунктов А и Б по этому шоссе одновременно начали движение автомобиль и грузовик. Автомобиль едет с постоянной скоростью 90 км/ч, грузовик - с постоянной скоростью 55 км/ч Какое расстояние будет между ними через час после начала движения? Найдите все возможные варианты. Решение.

Решение:

Для решения этой задачи рассмотрим два возможных случая движения автомобиля и грузовика относительно друг друга:

1. Движение навстречу друг другу:
   • Скорость сближения = Скорость автомобиля + Скорость грузовика
   • Скорость сближения = 90 км/ч + 55 км/ч = 145 км/ч
   • Расстояние через час = Скорость сближения * Время
   • Расстояние через час = 145 км/ч * 1 ч = 145 км
2. Движение в одном направлении:
   • Случай 1: Автомобиль догоняет грузовик.
     Скорость сближения (разница скоростей) = Скорость автомобиля - Скорость грузовика
     Скорость сближения = 90 км/ч - 55 км/ч = 35 км/ч
     Расстояние через час = Скорость сближения * Время
     Расстояние через час = 35 км/ч * 1 ч = 35 км
   • Случай 2: Грузовик догоняет автомобиль (это возможно, если изначально грузовик был впереди).
     Скорость сближения (разница скоростей) = Скорость грузовика - Скорость автомобиля
     Скорость сближения = 55 км/ч - 90 км/ч = -35 км/ч. Это означает, что автомобиль будет удаляться от грузовика, если изначально был позади.
     Если автомобиль впереди, то расстояние будет увеличиваться. Если грузовик впереди, то автомобиль его догонит, и расстояние будет уменьшаться.
     Важно: Задача предполагает, что они начинают движение из пунктов А и Б одновременно. Расстояние между А и Б 145 км. В этом случае, если они движутся в одном направлении, они могут двигаться из А в сторону Б или из Б в сторону А. Если автомобиль едет из А, а грузовик из Б, и они движутся в одном направлении (например, оба на восток), то автомобиль будет удаляться от грузовика. Если они движутся навстречу друг другу, то через час они встретятся (или пройдут друг друга). Если они движутся в одном направлении, и автомобиль начинает из А, а грузовик из Б, и оба едут в сторону Б, то автомобиль будет удаляться от грузовика. Если они оба едут из А в сторону Б, то автомобиль будет удаляться от грузовика. Если они оба едут из Б в сторону А, то автомобиль также будет удаляться от грузовика. Уточнение: Если они едут в одном направлении, и автомобиль начинает движение из А, а грузовик из Б, то через час автомобиль проедет 90 км, а грузовик 55 км. Поскольку они начинают с расстоянием 145 км, и едут в одном направлении, то расстояние между ними увеличится. Но если предположить, что они оба стартуют из одной точки, но автомобиль едет быстрее, то он будет удаляться. Рассмотрим наиболее вероятный сценарий для задачи такого типа:
     • Автомобиль стартует из А, грузовик из Б, и они движутся навстречу друг другу. В этом случае через 1 час они встретятся, и расстояние между ними будет 0 км, если они встретились точно в точке назначения, или они прошли друг друга, и расстояние равно разнице пройденных расстояний, если они продолжают движение. Переосмысление: Так как задача говорит «Из пунктов А и Б ... одновременно начали движение», и расстояние между ними 145 км, то они движутся либо навстречу, либо в одном направлении (относительно друг друга).
     • Если навстречу: Через час автомобиль проедет 90 км, грузовик 55 км. Общее пройденное расстояние 90 + 55 = 145 км. Это означает, что через час они встретятся. Расстояние будет 0 км.
     • Если в одном направлении:
       • Сценарий 1: Автомобиль из А в сторону Б, грузовик из Б в том же направлении (от А к Б). Через час автомобиль будет в 90 км от А. Грузовик будет в 145 + 55 = 200 км от А. Расстояние между ними: 200 - 90 = 110 км.
       • Сценарий 2: Грузовик из Б в сторону А, автомобиль из А в том же направлении (от Б к А). Через час грузовик будет в 145 - 55 = 90 км от А. Автомобиль будет в 90 км от А. Расстояние между ними: 90 - 90 = 0 км. (Это сценарий, где автомобиль догоняет грузовик, если начальные позиции были перепутаны или если они стартовали из одной точки).
       • Сценарий 3: Автомобиль из А в сторону от Б, грузовик из Б в сторону от А. Через час автомобиль будет в 90 км от А. Грузовик будет в 145 + 55 = 200 км от А. Расстояние между ними: 200 - 90 = 110 км.
       • Сценарий 4: Автомобиль из А в сторону Б, грузовик из Б, но в сторону А. Это движение навстречу.
     Ключевая фраза: «Найдите все возможные варианты.»
     • Вариант 1: Движение навстречу.
       Расстояние, пройденное автомобилем: $$S_{авто} = v_{авто} imes t = 90 ext{ км/ч} imes 1 ext{ ч} = 90 ext{ км}$$.
       Расстояние, пройденное грузовиком: $$S_{груз} = v_{груз} imes t = 55 ext{ км/ч} imes 1 ext{ ч} = 55 ext{ км}$$.
       Так как они движутся навстречу, общее пройденное расстояние равно расстоянию между пунктами А и Б, если они встречаются. В данном случае, они оба начинают движение одновременно и через час их суммарное пройденное расстояние равно 145 км, что равно первоначальному расстоянию между пунктами. Следовательно, через час они встретятся. Расстояние между ними будет 0 км.
     • Вариант 2: Движение в одном направлении (автомобиль догоняет грузовик).
       Предположим, что автомобиль начинает из пункта А, а грузовик из пункта Б, и оба движутся в одном направлении (например, от А к Б, и далее). В этом случае, через час автомобиль будет на расстоянии 90 км от А, а грузовик будет на расстоянии 145 + 55 = 200 км от А. Расстояние между ними будет $$200 ext{ км} - 90 ext{ км} = 110 ext{ км}$$.
     • Вариант 3: Движение в одном направлении (грузовик догоняет автомобиль).
       Это возможно, если изначально грузовик находился позади автомобиля. Однако, задача указывает, что они начинают из пунктов А и Б, расстояние между которыми 145 км. Если автомобиль в пункте А, а грузовик в пункте Б, и оба движутся в сторону А, то грузовик будет удаляться от автомобиля. Если автомобиль в пункте А, а грузовик в пункте Б, и оба движутся в сторону Б, то автомобиль будет удаляться от грузовика. Наиболее логичный вариант, когда они движутся в одном направлении и один догоняет другого, если предположить, что они стартуют из одной точки, но задача говорит про пункты А и Б.
       Переформулируем Вариант 2, предполагая, что автомобиль стартует из А, а грузовик из Б, и оба движутся в сторону пункта Б. Положение автомобиля через 1 час: 90 км от А.
       Положение грузовика через 1 час: 145 км (начальное расстояние) + 55 км (пройденное) = 200 км от А.
       Расстояние между ними: 200 км - 90 км = 110 км.
     • Вариант 4: Движение в одном направлении, но в другую сторону.
       Предположим, что автомобиль стартует из А, а грузовик из Б, и оба движутся в сторону, противоположную Б от А (то есть, от А против направления к Б).
       Положение автомобиля через 1 час: 90 км от А (в сторону, противоположную Б).
       Положение грузовика через 1 час: 145 км (начальное расстояние от А) + 55 км (пройденное в ту же сторону) = 200 км от А (в сторону, противоположную Б).
       Расстояние между ними: 200 км - 90 км = 110 км.
     • Вариант 5: Грузовик стартует из А, автомобиль из Б, оба движутся в сторону Б.
       Положение грузовика через 1 час: 55 км от А.
       Положение автомобиля через 1 час: 145 км (начальное расстояние) + 90 км (пройденное) = 235 км от А.
       Расстояние между ними: 235 км - 55 км = 180 км.
     • Вариант 6: Грузовик стартует из А, автомобиль из Б, оба движутся в сторону А.
       Положение грузовика через 1 час: 55 км от А (в сторону А).
       Положение автомобиля через 1 час: 145 км (начальное расстояние от А) - 90 км (пройденное в сторону А) = 55 км от А.
       Расстояние между ними: 55 км - 55 км = 0 км. (Это случай, когда автомобиль догнал грузовик, начав сзади).
     Учитывая, что А и Б — это пункты, а не просто точки, и между ними 145 км, и они начинают движение одновременно:
     • Случай 1: Движение навстречу друг другу.
       Автомобиль проехал 90 км. Грузовик проехал 55 км. Общая пройденная дистанция = 90 + 55 = 145 км. Так как начальное расстояние было 145 км, через час они встретятся. Расстояние между ними = 0 км.
     • Случай 2: Движение в одном направлении.
       Пусть оба движутся из А в сторону Б (и дальше). Автомобиль из А, грузовик из Б.
       Положение автомобиля через 1 час: 90 км от А.
       Положение грузовика через 1 час: 145 км (от А) + 55 км = 200 км от А.
       Расстояние между ними: 200 - 90 = 110 км.
     • Случай 3: Движение в одном направлении.
       Пусть оба движутся из Б в сторону А (и дальше). Автомобиль из Б, грузовик из А.
       Положение автомобиля через 1 час: 145 км (от А) + 90 км = 235 км от А.
       Положение грузовика через 1 час: 55 км от А.
       Расстояние между ними: 235 - 55 = 180 км.
     Два основных сценария:
     • Сценарий 1: Движение навстречу.
       Скорость сближения = 90 + 55 = 145 км/ч.
       Через 1 час расстояние между ними будет 0 км, так как они встретятся (145 км / 145 км/ч = 1 ч).
     • Сценарий 2: Движение в одном направлении.
       Скорость удаления = $$|90 - 55| = 35$$ км/ч.
       Расстояние, пройденное каждым за 1 час: автомобиль - 90 км, грузовик - 55 км.
       Если автомобиль и грузовик начинают движение из пунктов А и Б соответственно, и движутся в одном направлении (например, оба из А в сторону Б, где А — начало отсчета, а Б на 145 км дальше А):
       • Автомобиль проедет 90 км, будет находиться на отметке 90 км.
       • Грузовик проедет 55 км, будет находиться на отметке 145 км (начальное положение) + 55 км = 200 км.
       • Расстояние между ними: 200 км - 90 км = 110 км.
       Если они движутся в одном направлении, но грузовик из А, а автомобиль из Б:
       • Грузовик проедет 55 км, будет находиться на отметке 55 км.
       • Автомобиль проедет 90 км, будет находиться на отметке 145 км (начальное положение) + 90 км = 235 км.
       • Расстояние между ними: 235 км - 55 км = 180 км.
     Таким образом, возможны три варианта расстояния между ними через час:
     • 0 км (при движении навстречу друг другу)
     • 110 км (при движении в одном направлении, когда автомобиль начинает из А, а грузовик из Б)
     • 180 км (при движении в одном направлении, когда грузовик начинает из А, а автомобиль из Б)

Уточнение: Обычно в таких задачах подразумевается, что пункты А и Б — это точки старта, а направление движения может быть как навстречу, так и в одном направлении. Однако, если они начинают из разных пунктов, то при движении в одном направлении, нужно учитывать начальное расстояние между ними.

Рассмотрим движение из пунктов А и Б.

• Вариант 1: Движение навстречу.
  Автомобиль проезжает 90 км.
  Грузовик проезжает 55 км.
  Общее пройденное расстояние = 90 + 55 = 145 км.
  Поскольку начальное расстояние между ними было 145 км, через час они встретятся. Расстояние между ними = 0 км.
• Вариант 2: Движение в одном направлении (например, из А в сторону Б).
  Автомобиль стартует из А, грузовик из Б. Оба движутся в сторону Б (и дальше).
  Положение автомобиля через 1 час: 90 км от А.
  Положение грузовика через 1 час: 145 км (начальное расстояние от А) + 55 км (пройденное) = 200 км от А.
  Расстояние между ними: 200 км - 90 км = 110 км.
• Вариант 3: Движение в одном направлении (например, из Б в сторону А).
  Автомобиль стартует из Б, грузовик из А. Оба движутся в сторону А (и дальше).
  Положение автомобиля через 1 час: 145 км (начальное расстояние от А) + 90 км (пройденное) = 235 км от А.
  Положение грузовика через 1 час: 55 км от А.
  Расстояние между ними: 235 км - 55 км = 180 км.

Таким образом, три возможных расстояния между ними через час: 0 км, 110 км, 180 км.

Финальный ответ:

Ответ: 0 км, 110 км, 180 км.