ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 2. Часть 1 Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АС. Найдите радиус этой окружности, если косинус угла ВАС равен 0,75, а AB = 15. Ответ:

Дано:

• Треугольник ABC.
• Центр описанной окружности лежит на стороне AC.
• \[ \cos(\angle BAC) = 0.75 \]
• \[ AB = 15 \]

Найти: Радиус описанной окружности.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне AC, то эта сторона является диаметром окружности.

По теореме о диаметре, вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам. Следовательно, \[ \angle ABC = 90^{\circ} \].

Таким образом, треугольник ABC - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике ABC, AC является гипотенузой, а также диаметром описанной окружности.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ 0.75 = \frac{15}{AC} \]

Выразим AC:

\[ AC = \frac{15}{0.75} = \frac{15}{\frac{3}{4}} = 15 \times \frac{4}{3} = 5 \times 4 = 20 \]

AC является диаметром окружности, значит, радиус (R) равен половине диаметра:

\[ R = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Ответ: 10