ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 1. Часть 2 Решите неравенство (x+3)²(x−7) x²-4x-21 ≥0. Решение.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатель на множители.
   Знаменатель: \( x^2 - 4x - 21 \). Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 4x - 21 = 0 \).
   Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \).
   \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2} = -3 \).
   \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2} = 7 \).
   Следовательно, \( x^2 - 4x - 21 = (x - (-3))(x - 7) = (x + 3)(x - 7) \).
2. Шаг 2: Запишем неравенство в разложенном виде:
   \( \frac{(x+3)^2 (x-7)}{(x+3)(x-7)} \geq 0 \).
3. Шаг 3: Сократим общие множители.
   При \( x
   eq -3 \) и \( x
   eq 7 \), неравенство упрощается до \( x+3 \geq 0 \).
4. Шаг 4: Решим полученное линейное неравенство:
   \( x+3 \geq 0 \)
   \( x \geq -3 \).
5. Шаг 5: Учтем ограничения.
   Нам нужно учесть, что \( x
   eq -3 \) и \( x
   eq 7 \).
   Из условия \( x \geq -3 \) исключаем точку \( x = -3 \) (так как на ноль делить нельзя).
   Точка \( x = 7 \) также исключается, так как знаменатель обращается в ноль.
   Получаем \( x > -3 \) и \( x
   eq 7 \).
6. Шаг 6: Запишем ответ в виде интервала.
   Объединяя условия, получаем \( x \in (-3, 7) \cup (7, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-3, 7) \cup (7, \infty) \)