ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 2. Часть 2. Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 9 досках. Перед началом с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными на каждой из девяти досок. Во сколько раз вероятность события «Остап будет играть белыми на 4 досках» больше вероятности события «Остап будет играть белыми на 7 досках»?

Решение:

Вероятность того, что Остап будет играть белыми на конкретной доске, равна \( p = \frac{1}{2} \). Вероятность играть чёрными также \( q = 1 - p = \frac{1}{2} \).

Используем формулу Бернулли: \( P(k, n) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.

Найдём вероятность того, что Остап будет играть белыми на 4 досках из 9:

\[ P(4, 9) = C_9^4 \cdot (\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^{9-4} = \frac{9!}{4!5!} \cdot (\frac{1}{2})^9 \]\[ P(4, 9) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (\frac{1}{2})^9 = 126 \cdot (\frac{1}{2})^9 \]

Найдём вероятность того, что Остап будет играть белыми на 7 досках из 9:

\[ P(7, 9) = C_9^7 \cdot (\frac{1}{2})^7 \cdot (\frac{1}{2})^{9-7} = \frac{9!}{7!2!} \cdot (\frac{1}{2})^9 \]\[ P(7, 9) = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{1}{2})^9 = 36 \cdot (\frac{1}{2})^9 \]

Теперь найдём, во сколько раз вероятность события «Остап будет играть белыми на 4 досках» больше вероятности события «Остап будет играть белыми на 7 досках»:

\[ \frac{P(4, 9)}{P(7, 9)} = \frac{126 \cdot (\frac{1}{2})^9}{36 \cdot (\frac{1}{2})^9} = \frac{126}{36} = \frac{7}{2} = 3.5 \]

Ответ: в 3,5 раза.