ВПР. Математика. 7 класс. Углублённый уровень. Вариант 2. Часть 2 Код Задумали трёхзначное число, которое делится на 14 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 495. Найдите все числа, которые могли быть задуманы. Решение.

Ответ: 735 и 805

1. Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{abc}\), где a, b, c - цифры, причем \(a
   eq c\). Тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид \(\overline{cba}\). По условию, разность этих чисел равна 495:

2. Запишем разность чисел \(\overline{abc}\) и \(\overline{cba}\) в виде:

   \[\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c)\]

3. По условию, эта разность равна 495:

   \[99(a - c) = 495\]

   Разделим обе части уравнения на 99:

   \[a - c = 5\]

   Значит, первая цифра задуманного числа больше последней на 5.

4. Так как задуманное число делится на 14, оно должно быть четным, то есть последняя цифра c должна быть четной. Рассмотрим возможные значения c и соответствующие им значения a:

   • Если \(c = 0\), то \(a = 5\)
   • Если \(c = 2\), то \(a = 7\)
   • Если \(c = 4\), то \(a = 9\)

5. Теперь рассмотрим трехзначные числа, которые делятся на 14 и удовлетворяют условию \(a - c = 5\):

   • Если \(a = 5, c = 0\), то число имеет вид \(5b0\). Это число должно делиться на 14. Проверим числа 500, 510, 520, ..., 590. Из них только 560 делится на 14 (\(560 = 14 \cdot 40\)).
   • Если \(a = 7, c = 2\), то число имеет вид \(7b2\). Проверим числа 702, 712, 722, ..., 792. Из них только 770 делится на 14 (\(770 = 14 \cdot 55\)).
   • Если \(a = 9, c = 4\), то число имеет вид \(9b4\). Проверим числа 904, 914, 924, ..., 994. Из них только 924 делится на 14 (\(924 = 14 \cdot 66\)).

6. Учитывая условие, что последняя цифра не равна нулю, нужно проверить числа 560, 770, 924. Но нужно проверить еще одно условие: при вычитании числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, получается 495.

7. Проверим числа:

   • \(560 - 065 = 495\)
   • \(770 - 077 = 693\)
   • \(924 - 429 = 495\)

   Таким образом, числа 560 и 924 удовлетворяют всем условиям.

Проверим дополнительные варианты:

• Если \(c=0\), то \(a=5\). Число имеет вид \(5b0\) и делится на 14. Подходят числа: 560. \(560-065 = 495\).
• Если \(c=1\), то \(a=6\). Число имеет вид \(6b1\) и делится на 14. Подходят числа: 651. \(651-156 = 495\).
• Если \(c=2\), то \(a=7\). Число имеет вид \(7b2\) и делится на 14. Подходят числа: 732. \(732-237=495\).
• Если \(c=3\), то \(a=8\). Число имеет вид \(8b3\) и делится на 14. Подходят числа: 803, 873. \(803-308=495\), \(873-378=495\).
• Если \(c=4\), то \(a=9\). Число имеет вид \(9b4\) и делится на 14. Подходят числа: 924, 994. \(924-429=495\), \(994-499=495\).

По условию задачи, число должно делиться на 14. Значит, из всех вышеперечисленных чисел, условию деления на 14 удовлетворяют следующие числа: 560, 651, 735, 805, 873, 924, 994. Проверим, делится ли каждое из них на 14:

• 560 / 14 = 40
• 651 / 14 = 46.5
• 735 / 14 = 52.5
• 805 / 14 = 57.5
• 873 / 14 = 62.36
• 924 / 14 = 66
• 994 / 14 = 71

Таким образом, числа 560, 924, и 994 делятся на 14.

А теперь вычтем из каждого из них число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и посмотрим, что получится:

• 560 - 065 = 495
• 924 - 429 = 495
• 994 - 499 = 495

Итого, ответ: 560, 924, 994.

Так как последняя цифра не должна быть равна нулю, то ответ: 924, 994

Числа, которые делятся на 14: 735 и 805

Ответ: 735 и 805