174. Вписанная в треугольник \(ABC\) окружность касается стороны \(AC\) в точке \(H\). Найдите периметр треугольника \(ABC\), если \(AB = 10\) см, \(BC = 9\) см, \(CH = 5\) см.

Решение: По условию окружность **вписана** в треугольник \(ABC\), поэтому она **касается** всех его сторон. Пусть точки \(M\) и \(T\) – точки касания окружности со сторонами \(AB\) и \(BC\) соответственно. Отрезки касательных, проведённые из **одной** точки, равны. Следовательно, \(CT = CH = 5\) см, \(BM = BT\). \(AH = AC - CH = (5+AH)-5 = AH\) см. \(BM = BC - CT = 9 - 5 = 4 \) см. \(AH = AM = AB - BM = 10 - 4 = 6\) см. \(AC = AH + HC = 6 + 5 = 11\) см. Поэтому \(P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 10 + 9 + 11 = 30\) см. Ответ: \(30\) см. Развёрнутый ответ: Задача 173 требует определить, на каких рисунках изображены окружности, вписанные в треугольники. Окружность считается вписанной, если она касается всех сторон треугольника, и её центр находится внутри треугольника. Проанализировав рисунки, можно увидеть, что данному условию соответствуют только рисунки г) и д). Задача 174 требует найти периметр треугольника \(ABC\), если известны длины двух его сторон и отрезок, образованный точкой касания вписанной окружности на третьей стороне. Сначала определяем, что отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны. Это позволяет найти длину отрезка \(CT\), равного \(CH\), и \(BM\), равного \(BT\). Затем вычисляем длины \(AH\) и \(AC\). После нахождения всех сторон треугольника вычисляем его периметр как сумму длин всех сторон.