Вова, который всегда говорит правду, и Игорь, который всегда врет, написали контрольную по математике. Каждому была поставлена оценка от 1 до 5 (целое число, 1 и 5 включительно). Вова сказал: «Моя оценка не меньше трех». Игорь сказал: «Моя оценка больше двух». Какой могла быть сумма оценок, полученных Вовой и Игорем? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Решение:

1. Оценка Вовы: Вова говорит правду, и его оценка не меньше трёх. Возможные оценки Вовы: 3, 4, 5.
2. Оценка Игоря: Игорь врёт, и его оценка больше двух. Это значит, что его оценка не больше двух. Возможные оценки Игоря: 1, 2.
3. Возможные суммы оценок:
• Если Вова получил 3, а Игорь 1: \( 3 + 1 = 4 \)
• Если Вова получил 3, а Игорь 2: \( 3 + 2 = 5 \)
• Если Вова получил 4, а Игорь 1: \( 4 + 1 = 5 \)
• Если Вова получил 4, а Игорь 2: \( 4 + 2 = 6 \)
• Если Вова получил 5, а Игорь 1: \( 5 + 1 = 6 \)
• Если Вова получил 5, а Игорь 2: \( 5 + 2 = 7 \)
4. Доказательство, что других вариантов нет: Мы перебрали все возможные правдивые оценки Вовы (3, 4, 5) и все возможные ложные оценки Игоря (1, 2), которые соответствуют условиям задачи. Других комбинаций оценок не существует.

Ответ: Возможные суммы оценок: 4, 5, 6, 7.