Вопросы для повторения к главе XI 1 Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность. 2 Объясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка 0° < α < 180°. 3 Что называется тангенсом угла α? Для какого значения тангенс не определён и почему? 4 Что называется котангенсом угла α? Для каких значений котангенс не определён и почему? 5 Докажите основное тригонометрическое тождество. 6 Напишите формулы приведения. 7 Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох. 8 Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними). 9 Сформулируйте и докажите теорему синусов. 10 Сформулируйте и докажите теорему косинусов. 11 Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются. 12 Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно. 13 Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки. 14 Объясните, что означают слова «угол между векторами а и b равен α». В каком случае угол между векторами считается равным 0°? 15 Какие два вектора называюся перпендикулярными?

Вопросы для повторения к главе XI

1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.
2. Объясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка 0° < α < 180°.
   • Синус угла α — это ордината точки на единичной окружности, соответствующая углу α.
   • Косинус угла α — это абсцисса точки на единичной окружности, соответствующая углу α.
3. Что называется тангенсом угла α? Для какого значения тангенс не определён и почему?
   • Тангенс угла \(\alpha\) - это отношение синуса угла к косинусу угла: \[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\]
   • Тангенс не определен, когда косинус равен нулю, то есть при \(\alpha = 90° + 180°n\), где n - целое число.
4. Что называется котангенсом угла α? Для каких значений котангенс не определён и почему?
   • Котангенс угла \(\alpha\) - это отношение косинуса угла к синусу угла: \[ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\]
   • Котангенс не определен, когда синус равен нулю, то есть при \(\alpha = 180°n\), где n - целое число.
5. Докажите основное тригонометрическое тождество.
   • Основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\] Доказательство: Рассмотрим единичную окружность. Для любой точки на окружности с координатами (x, y) справедливо: \[x^2 + y^2 = 1\] Так как \(x = cos \alpha\) и \(y = sin \alpha\), то \[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\]
6. Напишите формулы приведения.
   • Формулы приведения позволяют выражать тригонометрические функции углов, больших 90°, через тригонометрические функции острых углов. Вот основные формулы приведения:
     • \(sin(90° - \alpha) = cos \alpha\)
     • \(cos(90° - \alpha) = sin \alpha\)
     • \(sin(90° + \alpha) = cos \alpha\)
     • \(cos(90° + \alpha) = -sin \alpha\)
     • \(sin(180° - \alpha) = sin \alpha\)
     • \(cos(180° - \alpha) = -cos \alpha\)
     • \(sin(180° + \alpha) = -sin \alpha\)
     • \(cos(180° + \alpha) = -cos \alpha\)
     • \(sin(270° - \alpha) = -cos \alpha\)
     • \(cos(270° - \alpha) = -sin \alpha\)
     • \(sin(270° + \alpha) = -cos \alpha\)
     • \(cos(270° + \alpha) = sin \alpha\)
     • \(sin(360° - \alpha) = -sin \alpha\)
     • \(cos(360° - \alpha) = cos \alpha\)
7. Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох.
   • Пусть точка A имеет координаты (x, y), длина отрезка OA = r, и угол между OA и осью Ox равен \(\alpha\). Тогда:
     • \(x = r \cdot cos \alpha\)
     • \(y = r \cdot sin \alpha\)
8. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).
   • Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: \[S = \frac{1}{2}ab \cdot sin \gamma\]
9. Сформулируйте и докажите теорему синусов.
   • Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: \[\frac{a}{sin \alpha} = \frac{b}{sin \beta} = \frac{c}{sin \gamma} = 2R\]
10. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
    • Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos \alpha\]
11. Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются.
    • Решение треугольника — это нахождение всех его сторон и углов по известным данным. Три основные задачи:
      • По трем сторонам (SSS): Даны три стороны треугольника, требуется найти углы.
      • По двум сторонам и углу между ними (SAS): Даны две стороны и угол между ними, требуется найти третью сторону и остальные углы.
      • По стороне и двум углам (ASA или AAS): Дана сторона и два угла, требуется найти остальные стороны и угол.
12. Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно.
    • Для определения высоты предмета, основание которого недоступно, можно использовать метод подобных треугольников или тригонометрические функции (например, тангенс угла). Измерьте угол подъема до верхней точки предмета и расстояние до некоторой точки на прямой, соединяющей наблюдателя и основание предмета. Используйте эти данные для вычисления высоты.
13. Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки.
    • Для измерения расстояния до недоступной точки можно использовать метод триангуляции. Выберите две точки на известном расстоянии друг от друга и измерьте углы между этими точками и недоступной точкой. Затем, используя тригонометрические расчеты, можно определить расстояние до недоступной точки.
14. Объясните, что означают слова «угол между векторами a и b равен α». В каком случае угол между векторами считается равным 0°?
    • Угол между векторами a и b — это угол, образованный этими векторами, если их отложить от одной точки. Угол между векторами считается равным 0°, когда векторы сонаправлены, то есть лежат на одной прямой и направлены в одну сторону.
15. Какие два вектора называюся перпендикулярными?
    • Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Ответ: смотри решение выше

Все эти вопросы помогут тебе лучше понять тригонометрию и векторы. У тебя все получится!