Вопрос: 5/7 В одной системе координат постройте графики функций у = - 1/x, y = √x и y = x – 2. По графикам определите координату (-ы) точки (-ек) пересечения.

Для решения данного задания необходимо построить графики указанных функций в одной системе координат и определить координаты точек пересечения.

Графики функций:

• $$y = -\frac{1}{x}$$ - гипербола
• $$y = \sqrt{x}$$ - ветвь параболы
• $$y = x - 2$$ - прямая

Чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо решить уравнения:

1. $$\sqrt{x} = x - 2$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x = (x - 2)^2$$

$$x = x^2 - 4x + 4$$

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$

Проверим корни:

• При x = 4: $$\sqrt{4} = 4 - 2 \Rightarrow 2 = 2$$ (верно)
• При x = 1: $$\sqrt{1} = 1 - 2 \Rightarrow 1 = -1$$ (неверно)

Следовательно, x = 4 является корнем уравнения.

Найдем значение y:

$$y = 4 - 2 = 2$$

Таким образом, точка пересечения графиков функций $$y = \sqrt{x}$$ и $$y = x - 2$$ имеет координаты (4, 2).

2. $$\sqrt{x} = -\frac{1}{x}$$

Данное уравнение не имеет решений, так как квадратный корень всегда неотрицателен, а -1/x всегда отрицателен при x > 0.

3. $$x - 2 = -\frac{1}{x}$$

$$x^2 - 2x = -1$$

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

$$(x - 1)^2 = 0$$

$$x = 1$$

Подставим в уравнение прямой:

$$y = 1 - 2 = -1$$

Точка пересечения графиков функций $$y = x - 2$$ и $$y = -\frac{1}{x}$$ имеет координаты (1, -1).

Ответ: (4, 2) и (1, -1)