Вопрос 8 Решите уравнение x⋅logₓ₊₁ 5 ⋅ log₃(x + 1) = (x - 4) / x

Решение:

Запишем уравнение: \( x \cdot \log_{x+1} 5 \cdot \log_3 \sqrt[\sqrt{5}]{x+1} = \frac{x-4}{x} \)

Приведём логарифм \( \log_3 \sqrt[\sqrt{5}]{x+1} \) к более удобному виду:

\( \log_3 \sqrt[\sqrt{5}]{x+1} = \log_3 (x+1)^{1/\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \log_3 (x+1) \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( x \cdot \log_{x+1} 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \log_3 (x+1) = \frac{x-4}{x} \)

Воспользуемся свойством логарифма \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \) и свойством \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \). Заменим \( \log_{x+1} 5 \) на \( \frac{\log_3 5}{\log_3 (x+1)} \).

\( x \cdot \frac{\log_3 5}{\log_3 (x+1)} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \log_3 (x+1) = \frac{x-4}{x} \)

Сократим \( \log_3 (x+1) \):

\( x \cdot \frac{\log_3 5}{\sqrt{5}} = \frac{x-4}{x} \)

Известно, что \( \log_3 5 \approx 1.465 \) и \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).

\( \frac{\log_3 5}{\sqrt{5}} \approx \frac{1.465}{2.236} \approx 0.655 \)

Уравнение приблизительно:

\( 0.655x = \frac{x-4}{x} \)

Умножим обе части на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \))

\( 0.655x^2 = x-4 \)

\( 0.655x^2 - x + 4 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 0.655 \cdot 4 = 1 - 10.48 = -9.48 \]

Так как \( D < 0 \), данное уравнение не имеет действительных решений. Проверим, не было ли ошибок при упрощении.

Вернемся к:

\( x \cdot \log_{x+1} 5 \cdot \log_3 (x+1)^{1/\sqrt{5}} = \frac{x-4}{x} \)

\( x \cdot \log_{x+1} 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \log_3 (x+1) = \frac{x-4}{x} \)

Заметим, что \( \log_{x+1} 5 = \frac{\log_3 5}{\log_3 (x+1)} \). Подставим это:

\( x \cdot \frac{\log_3 5}{\log_3 (x+1)} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \log_3 (x+1) = \frac{x-4}{x} \)

\( x \cdot \frac{\log_3 5}{\sqrt{5}} = \frac{x-4}{x} \)

\( x^2 \cdot \frac{\log_3 5}{\sqrt{5}} = x-4 \)

\( x^2 \cdot \frac{\log_3 5}{\sqrt{5}} - x + 4 = 0 \)

Сделаем замену: \( k = \frac{\log_3 5}{\sqrt{5}} \). Тогда \( k x^2 - x + 4 = 0 \).

Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot k \cdot 4 = 1 - 16k \).

\( k = \frac{\log_3 5}{\sqrt{5}} \). Значение \( \log_3 5 \) больше 1, а \( \sqrt{5} \) больше 2. \( \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3} \approx \frac{1.609}{1.098} \approx 1.465 \).

\( k \approx \frac{1.465}{2.236} \approx 0.655 \).

\( D = 1 - 16 \cdot 0.655 = 1 - 10.48 = -9.48 \).

Дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Проверим условия на ОДЗ:

\( x+1 > 0 \) ⇒ \( x > -1 \)

\( x+1 \neq 1 \) ⇒ \( x \neq 0 \)

\( x > 0 \) (поскольку \( x \) является основанием логарифма)

\( x-4 \) в числителе дроби, \( x \) в знаменателе.

Из \( x > 0 \) и \( x \neq 0 \) следует \( x > 0 \).

Условие \( x+1 > 0 \) выполняется при \( x > 0 \).

Возможно, есть другой путь решения.

Перепишем уравнение:

\( x · \frac{\ln 5}{\ln(x+1)} · \frac{1}{\sqrt{5}} · \frac{\ln(x+1)}{\ln 3} = \frac{x-4}{x} \)

\( x · \frac{\ln 5}{\sqrt{5}} · \frac{1}{\ln 3} = \frac{x-4}{x} \)

\( x^2 · \frac{\ln 5}{\sqrt{5} \ln 3} = x-4 \)

\( x^2 · \log_3 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = x-4 \)

\( x^2 · \frac{\log_3 5}{\sqrt{5}} = x-4 \)

\( \frac{\log_3 5}{\sqrt{5}} x^2 - x + 4 = 0 \)

Если предположить, что \( x=2 \) является решением:

\( 2 \cdot \log_{3} 5 · \log_3 \sqrt[\sqrt{5}]{3} = \frac{2-4}{2} \)

\( 2 \cdot \log_{3} 5 · \frac{1}{\sqrt{5}} \log_3 3 = -1 \)

\( 2 \cdot \log_{3} 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} · 1 = -1 \)

\( \frac{2 \log_3 5}{\sqrt{5}} = -1 \)

\( 2 · 1.465 / 2.236 \approx 2.93 / 2.236 \approx 1.31 \neq -1 \).

Если предположить, что \( x=1 \) является решением:

\( 1 \cdot \log_{2} 5 \cdot \log_3 \sqrt[\sqrt{5}]{2} = \frac{1-4}{1} \)

\( \log_{2} 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \log_3 2 = -3 \)

\( \frac{\ln 5}{\ln 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \frac{\ln 2}{\ln 3} = -3 \)

\( \frac{\ln 5}{\sqrt{5} \ln 3} = -3 \)

\( \frac{1.465}{2.236} \approx 0.655 \neq -3 \).

Если предположить, что \( x=3 \) является решением:

\( 3 \cdot \log_{4} 5 · \log_3 \sqrt[\sqrt{5}]{4} = \frac{3-4}{3} \)

\( 3 \cdot \frac{\ln 5}{\ln 4} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \log_3 4 = -1/3 \)

\( 3 \cdot \frac{\ln 5}{2 \ln 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \frac{2 \ln 2}{\ln 3} = -1/3 \)

\( 3 \cdot \frac{\ln 5}{\sqrt{5} \ln 3} = -1/3 \)

\( 3 \cdot 0.655 \approx 1.965 \neq -1/3 \).

Так как при проверке подставленных значений ответов уравнение не выполняется, и квадратное уравнение, к которому мы пришли, не имеет действительных корней, можно сделать вывод, что верных ответов нет.

Ответ: d. Нет верных ответов