Вопрос 6 (5 баллов) При расширении идеального одноатомного газа его объём изменяется от 1 л до 5 л, а давление линейно уменьшается как функция объёма от 3 МПа до 1 Мпа. Вычислите работу (в кДж), совершённую газом, изменение его внутренней энергии (в кДж), а также полученное количество теплоты (в кДж). Если в результате вычислений получается не целое число, то округлиге его до целого. Ответы запишите через точку с запятой в указанном в условии порядке. Единицы измерения не пишите.

Решение:

1. Перевод единиц:
   
   
   
   • Объём: \( V_1 = 1 \text{ л} = 1 \times 10^{-3} \text{ м}^3 \), \( V_2 = 5 \text{ л} = 5 \times 10^{-3} \text{ м}^3 \)
   
   
   • Давление: \( P_1 = 3 \text{ МПа} = 3 \times 10^6 \text{ Па} \), \( P_2 = 1 \text{ МПа} = 1 \times 10^6 \text{ Па} \)
   
   
   
   


2. Работа газа:
   
   
   
   • Давление линейно зависит от объёма: \( P(V) = aV + b \).
   
   
   • Найдём коэффициенты \( a \) и \( b \):
     
     
     
     • \( 3 \times 10^6 = a \times 1 + b \)
     
     
     • \( 1 \times 10^6 = a \times 5 + b \)
     
     
     
     
   
   
   • Вычтем второе уравнение из первого:
     \( (3 - 1) \times 10^6 = (a - 5a) + (b - b) \)
     \( 2 \times 10^6 = -4a \)
     \( a = -0.5 \times 10^6 \text{ Па/м}^3 \)
   
   
   • Подставим \( a \) в первое уравнение:
     \( 3 \times 10^6 = -0.5 \times 10^6 \times 1 + b \)
     \( b = 3.5 \times 10^6 \text{ Па} \)
   
   
   • Уравнение зависимости давления от объёма: \( P(V) = -0.5 \times 10^6 V + 3.5 \times 10^6 \).
   
   
   • Работа газа вычисляется как интеграл: \( A = ∫_{V_1}^{V_2} P(V) dV \)
     \( A = ∫_{1 \times 10^{-3}}^{5 \times 10^{-3}} (-0.5 \times 10^6 V + 3.5 \times 10^6) dV \)
     \( A = [-0.25 \times 10^6 V^2 + 3.5 \times 10^6 V]_{1 \times 10^{-3}}^{5 \times 10^{-3}} \)
     \( A = (-0.25 \times 10^6 (5 \times 10^{-3})^2 + 3.5 \times 10^6 \times 5 \times 10^{-3}) - (-0.25 \times 10^6 (1 \times 10^{-3})^2 + 3.5 \times 10^6 \times 1 \times 10^{-3}) \)
     \( A = (-0.25 \times 10^6 \times 25 \times 10^{-6} + 17.5 \times 10^3) - (-0.25 \times 10^6 \times 1 \times 10^{-6} + 3.5 \times 10^3) \)
     \( A = (-6.25 + 17.5) \times 10^3 - (-0.25 + 3.5) \times 10^3 \)
     \( A = 11.25 \times 10^3 - 3.25 \times 10^3 \)
     \( A = 8 \times 10^3 \text{ Дж} = 8 \text{ кДж} \)
   
   
   
   


3. Изменение внутренней энергии:
   
   
   
   • Для одноатомного идеального газа \( ΔU = \frac{3}{2} Δ(PV) \).
   
   
   • \( ΔU = \frac{3}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1) \)
     \( ΔU = \frac{3}{2} (1 \times 10^6 \times 5 \times 10^{-3} - 3 \times 10^6 \times 1 \times 10^{-3}) \)
     \( ΔU = \frac{3}{2} (5 \times 10^3 - 3 \times 10^3) \)
     \( ΔU = \frac{3}{2} (2 \times 10^3) \)
     \( ΔU = 3 \times 10^3 \text{ Дж} = 3 \text{ кДж} \)
   
   
   
   


4. Количество теплоты:
   
   
   
   • Согласно первому закону термодинамики: \( Q = A + ΔU \)
     \( Q = 8 \text{ кДж} + 3 \text{ кДж} \)
     \( Q = 11 \text{ кДж} \)
   
   
   
   

Ответ: 8;3;11