Вопрос 21 из 25 Решите уравнение (1/27)^x=9^(1-x).

Решение:

Для решения уравнения \( (1/27)^x = 9^(1-x) \) приведём обе части к одному основанию. Так как \( 1/27 = 1/3^3 = 3^{-3} \) и \( 9 = 3^2 \), уравнение примет вид:

\[ (3^{-3})^x = (3^2)^(1-x) \]

Используя свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), получим:

\[ 3^{-3x} = 3^{2(1-x)} \]

Поскольку основания степеней равны, приравниваем показатели:

\[ -3x = 2(1-x) \]

Раскроем скобки:

\[ -3x = 2 - 2x \]

Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую:

\[ -3x + 2x = 2 \]

\[ -x = 2 \]

Умножим обе части на -1:

\[ x = -2 \]

Проверка:

Левая часть: \( (1/27)^{-2} = (3^{-3})^{-2} = 3^6 = 729 \).

Правая часть: \( 9^(1-(-2)) = 9^(1+2) = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6 = 729 \).

Левая часть равна правой. Решение верно.

Ответ: x = -2.