Вопрос 17. Оцените решение школьника согласно приведённым критериям от 0 до 7. Условие задачи: Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c имеет два различных вещественных корня x₁ и x₂. Известно, что f(x₁ + x₂) = 2025. Чему может равняться c? Решение школьника: Пусть a = 1, b = 2. Тогда x₁ = −1 + √(1 − c), x₂ = −1 − √(1 − c), значит f(x₁ + x₂) = f(−2) = c = 2025. То есть c = 2025.

Правильный ответ школьник получил: c = 2025.

Однако обоснование неполное и содержит ошибку. При выбранных значениях a = 1 и b = 2 корни имеют вид \(x_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-c}\). При \(c=2025\) подкоренное выражение отрицательно: \(1-2025<0\), поэтому различных вещественных корней нет. Следовательно, такой пример не удовлетворяет условию задачи.

Кроме того, школьник не использовал теорему Виета:

\[x_1+x_2=-\frac{b}{a}.\]

Тогда

\[f(x_1+x_2)=f\left(-\frac{b}{a}\right)=a\left(-\frac{b}{a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{a}\right)+c=c.\]

По условию \(f(x_1+x_2)=2025\), значит \(c=2025\).

По критериям: за правильный ответ без полного обоснования — 1 балл; критерий 2 не выполнен; полное верное решение отсутствует.

Ответ: 1 балл из 7.