Вопрос 15. На рисунке изображён график квадратного трёхчлена. Найдите \(\frac{b}{a}\), если график задан формулой \(y=ax^2+15ax+b\), а расстояние между его нулями равно 3.

Пусть точки пересечения параболы с осью абсцисс имеют абсциссы \(x_1\) и \(x_2\). Тогда по рисунку:

\[x_2-x_1=3\]

Для уравнения \(ax^2+15ax+b=0\) по теореме Виета:

\[x_1+x_2=-\frac{15a}{a}=-15.\]

Решим систему:

\[\begin{cases}x_1+x_2=-15,\\x_2-x_1=3.\end{cases}\]

Складывая уравнения, получаем:

\[2x_2=-12,\quad x_2=-6.\]

Тогда:

\[x_1=-9.\]

По теореме Виета произведение корней равно \(\frac{b}{a}\):

\[\frac{b}{a}=x_1x_2=(-9)\cdot(-6)=54.\]

Ответ: 54.