Вопрос 10 На рисунке периметр треугольника АВО равен 24 см, ВО = 8 см. Найдите периметр треугольника АВС.

Решение:

На рисунке изображён равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\), так как \(AO = OC\) (обозначено одинаковыми штрихами) и \(BO\) является высотой (угол \(\angle BOC = 90^∘\)).

Треугольник \(ABO\) — прямоугольный, так как \(BO\) — высота. В условии сказано, что периметр треугольника \(ABO\) равен 24 см.

Периметр \(P_{ABO} = AB + BO + AO = 24\) см.

Нам дано, что \(BO = 8\) см.

Подставим значение \(BO\) в уравнение периметра:

\(AB + 8 + AO = 24\) см.

\(AB + AO = 24 - 8\) см.

\(AB + AO = 16\) см.

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(AB = BC\).

Основание \(AC = AO + OC\). Поскольку \(AO = OC\), то \(AC = 2 · AO\).

Периметр треугольника \(ABC\) равен \(P_{ABC} = AB + BC + AC\).

Так как \(AB = BC\), то \(P_{ABC} = 2 · AB + AC\).

Также, так как \(AO = OC\), то \(AC = 2 · AO\).

Подставим \(AC = 2 · AO\) в формулу периметра:

\(P_{ABC} = AB + BC + 2 · AO\).

Рассмотрим треугольники \(ABO\) и \(CBO\).

У них \(BO\) — общий катет, \(AO = OC\) — равные катеты. Следовательно, треугольники \(ABO\) и \(CBO\) равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует, что гипотенузы равны: \(AB = BC\).

Из равенства треугольников \(ABO\) и \(CBO\) также следует, что \(AB = BO + AO\) и \(BC = BO + OC\). Но это неверно, так как \(AB\) и \(BC\) — гипотенузы.

Правильно: \(AB = BC\) и \(AO = OC\).

Вернёмся к \(AB + AO = 16\) см.

Мы ищем периметр \(P_{ABC} = AB + BC + AC = AB + AB + 2 · AO = 2 · AB + 2 · AO\).

Вынесем общий множитель 2:

\(P_{ABC} = 2 · (AB + AO)\).

Мы знаем, что \(AB + AO = 16\) см.

\(P_{ABC} = 2 · 16\) см.

\(P_{ABC} = 32\) см.

Ответ: Периметр треугольника АВС равен 32 см.