Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 36 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 6 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где:

• Первый член прогрессии (расстояние, пройденное за первую секунду) \( a_1 = 36 \) м.
• Разность прогрессии \( d = -6 \) м (так как за каждую следующую секунду проезжал на 6 м меньше).

Найдем, сколько секунд автомобиль ехал до полной остановки. Это произойдет, когда расстояние, пройденное за последнюю секунду, станет равным или меньше 0. Найдем член прогрессии \( a_n \), который будет последним положительным значением.

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Приравниваем \( a_n \) к 0, чтобы найти момент остановки:

\[ 36 + (n-1)(-6) = 0 \]

\[ 36 - 6n + 6 = 0 \]

\[ 42 - 6n = 0 \]

\[ 6n = 42 \]

\[ n = 7 \]

Значит, автомобиль двигался 7 секунд. Теперь найдем сумму пройденного расстояния за эти 7 секунд. Для этого нужно найти расстояние, пройденное за 7-ю секунду:

\[ a_7 = 36 + (7-1)(-6) = 36 + 6(-6) = 36 - 36 = 0 \]

Таким образом, автомобиль проехал 36 м за первую секунду, 30 м за вторую, 24 м за третью, 18 м за четвертую, 12 м за пятую, 6 м за шестую и 0 м за седьмую (момент полной остановки).

Теперь найдем сумму пройденного пути по формуле суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

\[ S_7 = \frac{36 + 0}{2} \cdot 7 \]

\[ S_7 = \frac{36}{2} \cdot 7 \]

\[ S_7 = 18 \cdot 7 \]

\[ S_7 = 126 \]

Или можно просто сложить расстояния, пройденные за каждую секунду:

\( 36 + 30 + 24 + 18 + 12 + 6 + 0 = 126 \) м.

Ответ: автомобиль прошёл 126 метров до полной остановки.