Во внутренней области треугольника АВС взята точка О, равноудаленная от его сторон. Найдите <АОС, если <АВО=39°.

Точка О, равноудаленная от сторон треугольника, является центром вписанной окружности.

В этом случае О является биссектрисой углов треугольника.

Угол АОС = 180° - (<ОАС + <ОСА). Угол АВО = 39°, значит угол АВС = 2 * 39° = 78°.

Угол АОС = 180° - (90° - <АВС/2) - (90° - <ВСА/2) = <АВС/2 + <ВСА/2. Это неверно.

Правильно: Угол АОС = 180° - (<ОАС + <ОСА). Так как О - центр вписанной окружности, то <ОАС = <А/2, <ОСА = <С/2. Угол АОС = 180° - (<А/2 + <С/2). Также известно, что <А + <В + <С = 180°. Следовательно, <А/2 + <С/2 = (180° - <В)/2 = 90° - <В/2. Тогда <АОС = 180° - (90° - <В/2) = 90° + <В/2. Угол АВО = 39°, значит <В = 2 * 39° = 78°. Угол АОС = 90° + 78°/2 = 90° + 39° = 129°.