1. Внутренний угол правильного п-угольника равен 140°, а сторона равна 8 см. Найдите периметр п-угольника. 2. Длина окружности, описанной около правильного ше- стиугольника, равна 12л см. Найдите площадь шести- угольника. 5. В правильный треугольник с периметром, равным 9/6 см, вписана окружность, около которой описан квадрат. Найдите площадь той части квадрата, которая не лежит внутри окружности

Задание 3: Периметр n-угольника

Внутренний угол правильного n-угольника равен 140°, а сторона равна 8 см. Найдите периметр n-угольника.

• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \[180°(n-2)\]
• Каждый угол правильного n-угольника равен \[\frac{180°(n-2)}{n}\]
• По условию, каждый угол равен 140°, поэтому:
\[\frac{180(n-2)}{n} = 140\]
• Решим уравнение:
\[180(n-2) = 140n\] \[180n - 360 = 140n\] \[40n = 360\] \[n = 9\]
• Итак, у нас 9-угольник.
• Сторона равна 8 см, значит, периметр равен:
\[P = 9 \cdot 8 = 72\]
• Периметр равен 72 см.

Ответ: 72 см

Задание 4: Площадь шестиугольника

Длина окружности, описанной около правильного шестиугольника, равна \(12\pi\) см. Найдите площадь шестиугольника.

• Длина окружности:
\[C = 2\pi R\]
• По условию, \(C = 12\pi\), следовательно:
\[2\pi R = 12\pi\] \[R = 6\]
• Радиус описанной окружности равен 6 см.
• Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, сторона которых равна радиусу описанной окружности.
• Площадь равностороннего треугольника:
\[S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]
• В нашем случае \(a = R = 6\), значит:
\[S_{\triangle} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\]
• Площадь шестиугольника:
\[S_{6} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3}\]
• Площадь шестиугольника равна \(54\sqrt{3}\) см².

Ответ: 54\(\sqrt{3}\) см²

Задание 5: Площадь части квадрата вне круга

В правильный треугольник с периметром, равным \(9\sqrt{6}\) см, вписана окружность, около которой описан квадрат. Найдите площадь той части квадрата, которая не лежит внутри окружности.

• Сторона правильного треугольника:
\[a = \frac{P}{3} = \frac{9\sqrt{6}}{3} = 3\sqrt{6}\]
• Радиус вписанной окружности в правильный треугольник:
\[r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{18}}{6} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{2}}{6} = \frac{9\sqrt{2}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\]
• Радиус окружности равен \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) см.
• Сторона квадрата, описанного около окружности:
\[b = 2r = 2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\]
• Площадь квадрата:
\[S_{\text{квадрата}} = b^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\]
• Площадь круга:
\[S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{9 \cdot 2}{4} = \frac{9\pi}{2}\]
• Площадь части квадрата, не лежащей внутри окружности:
\[S = S_{\text{квадрата}} - S_{\text{круга}} = 18 - \frac{9\pi}{2} = \frac{36 - 9\pi}{2} = \frac{9(4 - \pi)}{2}\]
• Площадь равна \(\frac{9(4 - \pi)}{2}\) см².

Ответ: \(\frac{9(4 - \pi)}{2}\) см²