VII Московская математическая олимпиада, 1941 г. Комплект для 7-8 классов, второй тур. Дан треугольник ABC. Точка M, лежащая внутри него, но при этом не лежащая ни на одной из средних линий, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно стороне AB до пересечения со стороной BC, затем параллельно стороне CA и т. д. Через какое число таких шагов точка вернётся в исходное положение?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Точка M движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA. В результате этого движения точка M перемещается в новую точку M₁.
2. Шаг 2: Точка M₁ движется параллельно стороне AB до пересечения со стороной BC. Точка перемещается в M₂.
3. Шаг 3: Точка M₂ движется параллельно стороне CA до пересечения со стороной AB. Точка перемещается в M₃.
4. Шаг 4: Точка M₃ движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA. Точка перемещается в M₄.
5. Шаг 5: Точка M₄ движется параллельно стороне AB до пересечения со стороной BC. Точка перемещается в M₅.
6. Шаг 6: Точка M₅ движется параллельно стороне CA до пересечения со стороной AB. Точка перемещается в M₆.
7. Анализ движения: Каждое движение точки параллельно одной из сторон треугольника приводит к её смещению. Геометрически, такое движение можно представить как последовательные преобразования, связанные с векторами сторон треугольника.
8. Закономерность: Последовательность движений: параллельно BC, затем AB, затем CA, повторяется. Данный тип движения, примененный к точке внутри треугольника, приводит к возвращению в исходное положение после 6 шагов.

Ответ: 6