Вичислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями. 1. y=1-x³, y = 0, y = 0; 2. y = -x²-4x, y = 0, x = - 3, x = -1; 3. y=-2, y=0, x=-4,x=-1;

Решение:

Задание содержит три подпункта. Каждый требует вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, предварительно сделав рисунок.

1. \( y = 1 - x^3 \), \( y = 0 \)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = 1 - x^3 \) и осью \( x \), необходимо найти точки пересечения кривой с осью \( x \). Для этого приравняем \( y \) к нулю:

\[ 1 - x^3 = 0 \]

\[ x^3 = 1 \]

\[ x = 1 \]

Таким образом, кривая пересекает ось \( x \) в точке \( x = 1 \). График функции \( y = 1 - x^3 \) проходит через точку \( (0, 1) \). При \( x < 1 \), \( y > 0 \). Для расчета площади воспользуемся определенным интегралом:

\[ S = \int_{0}^{1} (1 - x^3) dx \]

\[ S = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} \]

\[ S = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( 0 - \frac{0^4}{4} \right) \]

\[ S = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{3}{4} \).

2. \( y = -x^2 - 4x \), \( y = 0 \), \( x = -3 \), \( x = -1 \)

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью \( x \) (при \( y = 0 \)):

\[ -x^2 - 4x = 0 \]

\[ -x(x + 4) = 0 \]

\[ x = 0 \text{ или } x = -4 \]

Вершина параболы находится при \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-1)} = -2 \). При \( x = -2 \), \( y = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4 \).

Нас интересует площадь фигуры, ограниченная параболой \( y = -x^2 - 4x \), осью \( x \) \( y = 0 \) и вертикальными прямыми \( x = -3 \) и \( x = -1 \). На интервале \( [-3, -1] \) функция \( y \) положительна, так как вершины параболы \( x = -2 \) находится внутри этого интервала.

\[ S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) dx \]

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{-3}^{-1} \]

\[ S = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - \left( -\frac{-27}{3} - 2(9) \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{3} - \frac{6}{3} \right) - (9 - 18) \]

\[ S = -\frac{5}{3} - (-9) \]

\[ S = -\frac{5}{3} + 9 \]

\[ S = -\frac{5}{3} + \frac{27}{3} = \frac{22}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{22}{3} \).

3. \( y = -2 \), \( y = 0 \), \( x = -4 \), \( x = -1 \)

Данные линии образуют прямоугольник. Ось \( x \) — это \( y = 0 \). Прямая \( y = -2 \) параллельна оси \( x \) и находится ниже неё. Вертикальные прямые \( x = -4 \) и \( x = -1 \) ограничивают фигуру по горизонтали.

Ширина прямоугольника равна разности значений \( x \):

\[ w = |-1 - (-4)| = |-1 + 4| = 3 \]

Высота прямоугольника равна разности значений \( y \) (модуль, так как площадь положительна):

\[ h = |0 - (-2)| = |2| = 2 \]

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \( S = w \times h \):

\[ S = 3 \times 2 = 6 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 6.