Входные тесты (6 класс) Вариант 1. 1. Выделите целую часть: 1) 121/9; 2) 243/15 2. Представьте в виде неправильной дроби: 1) 2 4/18; 2) 101 5/6 3.. Вычислите: 1) 1 7/18 - 4/15; 2) 4 4/5 \cdot 1/6; 3) 3 1/9 : 4/3; 4) (30:27-1/3) \cdot 2/7 + 2/5 4.. Первая бригада построит дом за 54 дня, а вторая бригада за 27 дней. За сколько дней две бригады построят дом при совместной работе? 5. Петя потратил 4/9 имеющихся денег, и у него осталось 180 р. Сколько денег он потратил? 6. Глеб с братом Алешей сажали деревья. Глеб посадил в 3 раза больше деревьев, чем брат, а вместе они посадили 24 дерева. Сколько деревьев посадил каждый?

1. Выделение целой части:

Давай разберем по порядку, как выделить целую часть из неправильной дроби.

1) \[ \frac{121}{9} \]

Чтобы выделить целую часть, нужно разделить числитель на знаменатель. \[ 121 \div 9 = 13 \] (целых) и 4 в остатке. Значит, \[ \frac{121}{9} = 13\frac{4}{9} \]

2) \[ \frac{243}{15} \]

Делим числитель на знаменатель: \[ 243 \div 15 = 16 \] (целых) и 3 в остатке. Значит, \[ \frac{243}{15} = 16\frac{3}{15} \]. Дробь \[ \frac{3}{15} \] можно сократить на 3: \[ \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \]. Итого: \[ 16\frac{1}{5} \]

Ответ: 1) \(13\frac{4}{9}\); 2) \(16\frac{1}{5}\)

2. Представление в виде неправильной дроби:

Сейчас мы преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

1) \[ 2\frac{4}{18} \]

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, а знаменатель оставить прежним: \[ \frac{2 \cdot 18 + 4}{18} = \frac{36 + 4}{18} = \frac{40}{18} \]. Дробь можно сократить на 2: \[ \frac{40}{18} = \frac{20}{9} \]

2) \[ 101\frac{5}{6} \]

Делаем аналогично: \[ \frac{101 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{606 + 5}{6} = \frac{611}{6} \]

Ответ: 1) \(\frac{20}{9}\); 2) \(\frac{611}{6}\)

3. Вычисление:

Будем решать примеры на вычисление.

1) \[ 1\frac{7}{18} - \frac{4}{15} \]

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: \[ 1\frac{7}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{25}{18} \]. Теперь вычтем дроби: \[ \frac{25}{18} - \frac{4}{15} \]. Найдем общий знаменатель для 18 и 15. Это будет 90. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{25}{18} = \frac{25 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{125}{90} \], \[ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{24}{90} \]. Теперь вычитаем: \[ \frac{125}{90} - \frac{24}{90} = \frac{101}{90} \]. Выделим целую часть: \[ \frac{101}{90} = 1\frac{11}{90} \]

2) \[ 4\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{6} \]

Переведем смешанное число в неправильную дробь: \[ 4\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{24}{5} \]. Теперь умножим дроби: \[ \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{24 \cdot 1}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30} \]. Сократим дробь на 6: \[ \frac{24}{30} = \frac{4}{5} \]

3) \[ 3\frac{1}{9} : \frac{4}{3} \]

Переведем смешанное число в неправильную дробь: \[ 3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9} \]. Теперь разделим дроби: \[ \frac{28}{9} : \frac{4}{3} = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{28 \cdot 3}{9 \cdot 4} = \frac{84}{36} \]. Сократим дробь на 12: \[ \frac{84}{36} = \frac{7}{3} \]. Выделим целую часть: \[ \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \]

4) \[ (30:27 - \frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{7} + \frac{2}{5} \]

Сначала выполним деление: \[ 30 : 27 = \frac{30}{27} = \frac{10}{9} \]. Теперь вычтем дробь: \[ \frac{10}{9} - \frac{1}{3} = \frac{10}{9} - \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9} - \frac{3}{9} = \frac{7}{9} \]. Теперь умножим на дробь: \[ \frac{7}{9} \cdot \frac{2}{7} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 7} = \frac{14}{63} = \frac{2}{9} \]. Теперь прибавим дробь: \[ \frac{2}{9} + \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{10}{45} + \frac{18}{45} = \frac{28}{45} \]

Ответ: 1) \(1\frac{11}{90}\); 2) \(\frac{4}{5}\); 3) \(2\frac{1}{3}\); 4) \(\frac{28}{45}\)

4. Задача про бригады:

Пусть первая бригада выполняет \[ \frac{1}{54} \] часть работы в день, а вторая бригада - \[ \frac{1}{27} \] часть работы в день. Вместе они выполняют \[ \frac{1}{54} + \frac{1}{27} = \frac{1}{54} + \frac{2}{54} = \frac{3}{54} = \frac{1}{18} \] часть работы в день. Значит, вместе они построят дом за 18 дней.

Ответ: 18 дней

5. Задача про Петю:

Петя потратил \[ \frac{4}{9} \] денег, значит, у него осталось \[ 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] денег. Эти \[ \frac{5}{9} \] составляют 180 рублей. Чтобы найти, сколько всего денег у Пети было, нужно 180 разделить на \[ \frac{5}{9} \]: \[ 180 : \frac{5}{9} = 180 \cdot \frac{9}{5} = \frac{180 \cdot 9}{5} = \frac{1620}{5} = 324 \] рубля. Петя потратил \[ 324 - 180 = 144 \] рубля.

Ответ: 144 рубля

6. Задача про деревья:

Пусть брат Алеша посадил x деревьев, тогда Глеб посадил 3x деревьев. Вместе они посадили 24 дерева. Получаем уравнение: \[ x + 3x = 24 \], \[ 4x = 24 \], \[ x = 6 \]. Значит, Алеша посадил 6 деревьев, а Глеб посадил \[ 3 \cdot 6 = 18 \] деревьев.

Ответ: Алеша посадил 6 деревьев, Глеб посадил 18 деревьев.

Ответ: смотри выше

Молодец, ты отлично справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!