Входное напряжение ивx(t) (рисунок ниже) содержит постоянную составляющую, первую и третью гармоники. Емкость СЗ через ш и L3, чтобы в нагрузку Rн проходила неизменной только первая гармоника, а остальные отсутствовали будет равна ...

Решение:

Для того чтобы через нагрузку Rн проходила только первая гармоника, а остальные отсутствовали, необходимо, чтобы импеданс цепи для первой гармоники был минимальным (близким к нулю), а для третьей гармоники — максимальным (бесконечным).

Рассмотрим схему: конденсатор C1 последовательно с параллельным соединением индуктивности L3 и конденсатора C2. Затем последовательно с резистором Rн.

Условие для первой гармоники:

Частота первой гармоники: \( ̂ω \).

Импеданс C1: \( Z_{C1} = \frac{1}{ĵω C_1} \).

Импеданс L3: \( Z_{L3} = ĵω L_3 \).

Импеданс C2: \( Z_{C2} = \frac{1}{ĵω C_2} \).

Чтобы первая гармоника проходила неизменной, импеданс всей цепи (без учета Rн) должен быть минимальным. Это достигается, когда параллельное соединение L3 и C2 резонирует, то есть их импеданс стремится к нулю. Однако, C1 стоит последовательно, что также влияет на общий импеданс. Для прохождения первой гармоники без изменений, вся цепь должна вести себя как проводник (минимальный импеданс).

Условие для третьей гармоники:

Частота третьей гармоники: \( 3̂ω \).

Импеданс C1: \( Z_{C1} = \frac{1}{j3̂ω C_1} \).

Импеданс L3: \( Z_{L3} = j3̂ω L_3 \).

Импеданс C2: \( Z_{C2} = \frac{1}{j3̂ω C_2} \).

Чтобы третья гармоника отсутствовала (была заблокирована), импеданс цепи для этой частоты должен быть максимальным (бесконечным).

Резонанс для третьей гармоники:

Чтобы заблокировать третью гармонику, параллельное соединение L3 и C2 должно находиться в резонансе, где их общий импеданс стремится к бесконечности. Это происходит при последовательном резонансе L3 и C2, но они соединены параллельно. Для последовательного резонанса L3 и C2, \( ̂ω_0 = \frac{1}{\sqrt{L_3 C_2}} \). В данном случае, чтобы заблокировать третью гармонику, нам нужен резонанс в параллельной цепи L3C2 на частоте \( 3̂ω \).

Условие для фильтрации:

Для того чтобы первую гармонику пропустить, а третью заблокировать, частота третьей гармоники \( 3̂ω \) должна быть резонансной частотой для параллельного соединения L3 и C2, чтобы его импеданс был бесконечным. Параллельный LC-контур имеет резонанс, когда \( ̂ω = \frac{1}{\sqrt{LC}} \). В данном случае, нам нужно, чтобы на частоте \( 3̂ω \) импеданс L3 и C2 был максимальным. Это означает, что \( 3̂ω \) является резонансной частотой для параллельного LC-контура L3C2.

\( 3̂ω = \frac{1}{\sqrt{L_3 C_2}} \)

Возведем обе стороны в квадрат:

\[ (3̂ω)^2 = \frac{1}{L_3 C_2} \]

\[ 9̂ω^2 = \frac{1}{L_3 C_2} \]

Теперь рассмотрим C3. В вопросе фигурирует С3, но на схеме есть C1 и C2. По всей видимости, С3 из вопроса относится к C2 на схеме. Также, условие «чтобы в нагрузку Rн проходила неизменной только первая гармоника, а остальные отсутствовали» означает, что C1 должен блокировать все гармоники, кроме первой, и L3C2 должно блокировать третью гармонику. Так как C1 последовательно, он должен иметь низкий импеданс для первой гармоники и высокий для третьей. Это условие выполняет конденсатор.

Поскольку в ответе есть только L3, будем считать, что C1 и C2 (или C3) выбраны таким образом, чтобы выполнять свои функции, и нам нужно найти значение C2 (или C3) для резонанса с L3 на третьей гармоники.

Из \( 9̂ω^2 = \frac{1}{L_3 C_2} \), выразим \( C_2 \):

\[ C_2 = \frac{1}{9̂ω^2 L_3} \]

Однако, в вариантах ответа нет значений C. Есть только выражения, содержащие \( ̂ω \) и \( L_3 \). Это может означать, что вопрос задан некорректно, или же требуется найти какое-то другое отношение.

Давайте переформулируем задачу, исходя из того, что нужно заблокировать третью гармонику с помощью параллельного контура L3C2, а C1 пропускает первую гармонику. Для блокировки третьей гармоники, резонансная частота параллельного контура L3C2 должна быть равна \( 3̂ω \).

\( ̂ω_{res} = \frac{1}{\sqrt{L_3 C_2}} = 3̂ω \)

\[ \frac{1}{L_3 C_2} = (3̂ω)^2 = 9̂ω^2 \]

\[ C_2 = \frac{1}{9̂ω^2 L_3} \]

Если вопрос просит найти значение C3 (которое соответствует C2 на схеме), то ответ должен содержать C2. Но такого варианта нет.

Рассмотрим другой вариант. Возможно, С1 и C2 создают фильтр, который пропускает первую гармонику и блокирует третью. Конденсатор C1 последовательно с Rн пропускает только переменный ток. L3 и C2 параллельно образуют резонансный контур.

Если \( C_3 \) (или \( C_2 \) на схеме) выбирается так, чтобы резонансная частота параллельного колебательного контура \( L_3 C_2 \) была равна \( 3̂ω \), то:

\[ 3̂ω = \frac{1}{\sqrt{L_3 C_2}} \]

\[ (3̂ω)^2 = \frac{1}{L_3 C_2} \]

\[ 9̂ω^2 = \frac{1}{L_3 C_2} \]

\[ C_2 = \frac{1}{9̂ω^2 L_3} \]

Этот результат предполагает, что нам дано \( L_3 \) и \( ̂ω \), и мы находим \( C_2 \).

Давайте посмотрим на варианты ответов. Они содержат \( ̂ω^2 L_3 \). Это может быть обратная величина или часть выражения.

Если мы ищем \( \frac{1}{̂ω^2 L_3} \) или \( ̂ω^2 L_3 \).

В вариантах есть \( 1/((9̂ω^2 L_3)) \) и \( 9̂ω^2 L_3 \).

Если \( C_2 = \frac{1}{9̂ω^2 L_3} \), то ответ будет \( 1/((9̂ω^2 L_3)) \).

Предположим, что C3 из вопроса = C2 на схеме. И цель — заблокировать третью гармонику. Параллельный LC контур резонирует на частоте \( ̂ω_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \). Чтобы заблокировать третью гармонику, резонансная частота должна быть равна \( 3̂ω \).

\[ 3̂ω = \frac{1}{\sqrt{L_3 C_2}} \]

\[ 9̂ω^2 = \frac{1}{L_3 C_2} \]

\[ C_2 = \frac{1}{9̂ω^2 L_3} \]

Этот ответ совпадает с первым вариантом, если \( C_2 \) — это искомая величина.

Проверим условие для первой гармоники.

Импеданс L3C2 на первой гармонике:

\( Z_{L3C2} = \frac{(ĵω L_3) \times (\frac{1}{ĵω C_2})}{ĵω L_3 + \frac{1}{ĵω C_2}} = \frac{L_3/C_2}{ĵω L_3 - \frac{j}{̂ω C_2}} = \frac{L_3/C_2}{j(̂ω L_3 - \frac{1}{̂ω C_2})} \) - это для последовательного соединения L3 и C2. У нас параллельное.

Импеданс параллельного соединения L3 и C2:

\[ Z_{L3 || C2} = \frac{1}{\frac{1}{Z_{L3}} + \frac{1}{Z_{C2}}} = \frac{1}{\frac{1}{ĵω L_3} + ĵω C_2} = \frac{1}{j(-\frac{1}{̂ω L_3} + ̂ω C_2})} \]

На частоте \( ̂ω = \frac{1}{\sqrt{L_3 C_2}} \) (резонанс) импеданс стремится к бесконечности. Это НЕ то, что нам нужно для пропуска первой гармоники.

Важно: Схема представляет собой фильтр. Для пропускания первой гармоники и блокирования третьей, нужно чтобы на первой гармонике общий импеданс цепи был минимален, а на третьей — максимален.

Конденсатор C1 последовательно с L3 и C2 параллельно, затем последовательно с Rн. Если C1 — емкость, L3 — индуктивность, C2 — емкость.

Перечитаем условие: «Емкость СЗ через ш и L3, чтобы в нагрузку Rн проходила неизменной только первая гармоника, а остальные отсутствовали будет равна...»

Это означает, что C3 (вероятно, C2 на схеме) вместе с L3 должны формировать фильтр. Частота \( ̂ω \) — первая гармоника. Частота \( 3̂ω \) — третья гармоника.

Чтобы заблокировать третью гармонику, параллельный LC контур L3C2 должен иметь очень большой импеданс на частоте \( 3̂ω \). Это происходит, когда \( 3̂ω \) является резонансной частотой параллельного контура.

\[ ̂ω_{res} = \frac{1}{\sqrt{L_3 C_2}} = 3̂ω \]

\[ 9̂ω^2 = \frac{1}{L_3 C_2} \]

\[ C_2 = \frac{1}{9̂ω^2 L_3} \]

Это значение \( C_2 \) (или \( C_3 \) в терминологии вопроса) соответствует первому варианту ответа.

Проверим, что происходит с первой гармоникой.

На первой гармонике \( ̂ω \) импеданс L3C2 не является ни нулевым, ни бесконечным. Он зависит от конкретных значений \( L_3, C_2, ̂ω \).

Но нам важно, чтобы первая гармоника проходила неизменной. Это значит, что ее амплитуда и фаза не должны сильно искажаться. Основное подавление должно быть для третьей гармоники.

C1 стоит последовательно с Rн. Его роль - пропускать постоянную составляющую и первую гармонику, и подавлять высшие гармоники. Конденсатор C1 пропускает переменный ток. Чем выше частота, тем меньше его импеданс.

Однако, схема выглядит как фильтр, который пропускает определенные частоты.

Если C3 (т.е. C2 на схеме) выбран так, чтобы резонансная частота параллельного контура L3C2 была равна \( 3̂ω \), то на этой частоте импеданс L3C2 будет максимальным, и третья гармоника будет подавлена.

\( C_2 = \frac{1}{9̂ω^2 L_3} \)

Таким образом, значение емкости C3 (соответствующей C2 на схеме) должно быть равно \( \frac{1}{9̂ω^2 L_3} \) для того, чтобы заблокировать третью гармонику.

Окончательный ответ:

Значение емкости C3 (идентичной C2 на схеме) должно быть таким, чтобы резонансная частота параллельного контура L3C2 равнялась частоте третьей гармоники \( 3̂ω \).

Резонансная частота параллельного LC-контура: \( ̂ω_{res} = \frac{1}{\sqrt{L_3 C_2}} \).

Приравниваем ее к частоте третьей гармоники: \( 3̂ω = \frac{1}{\sqrt{L_3 C_2}} \).

Возводим в квадрат: \( (3̂ω)^2 = \frac{1}{L_3 C_2} \), то есть \( 9̂ω^2 = \frac{1}{L_3 C_2} \).

Выражаем \( C_2 \) (которая в условии обозначена как C3):

\[ C_2 = \frac{1}{9̂ω^2 L_3} \]

Это значение соответствует первому варианту ответа.

Ответ: 1/((9ω^2 L_3)).