Вершины четырехугольника ABCD делят окружность в отношении 1:2:5:4. Найдите углы этого четырехугольника.

Решение:

Вершины четырехугольника ABCD делят окружность на дуги, пропорциональные числам 1, 2, 5, 4. Обозначим длины этих дуг как \(1x, 2x, 5x, 4x\).

1. Найдем общую сумму частей: \(1 + 2 + 5 + 4 = 12\) частей.
2. Полная окружность составляет \(360^\circ\).
3. Найдем градусную меру одной части: \(360^\circ / 12 = 30^\circ\).
4. Найдем градусные меры дуг:
   • Дуга AB = \(1x = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ\)
   • Дуга BC = \(2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\)
   • Дуга CD = \(5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\)
   • Дуга DA = \(4x = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\)
5. Углы четырехугольника ABCD вписаны в окружность. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Угол A опирается на дугу BCD = дуга BC + дуга CD = \(60^\circ + 150^\circ = 210^\circ\).
  • \( ∠ A = \frac{1}{2} \text{дуга BCD} = \frac{1}{2} \cdot 210^\circ = 105^\circ \)
• Угол B опирается на дугу CDA = дуга CD + дуга DA = \(150^\circ + 120^\circ = 270^\circ\).
  • \( ∠ B = \frac{1}{2} \text{дуга CDA} = \frac{1}{2} \cdot 270^\circ = 135^\circ \)
• Угол C опирается на дугу DAB = дуга DA + дуга AB = \(120^\circ + 30^\circ = 150^\circ\).
  • \( ∠ C = \frac{1}{2} \text{дуга DAB} = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ \)
• Угол D опирается на дугу ABC = дуга AB + дуга BC = \(30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\).
  • \( ∠ D = \frac{1}{2} \text{дуга ABC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \)

Ответ: Углы четырехугольника равны 105°, 135°, 75°, 45°.