Вершины четырехугольника ABCD делят окружность в отношении 1:2:5:4. Найдите углы этого четырехугольника.

Пусть окружность разделена на части, пропорциональные 1:2:5:4. Обозначим эти части как x, 2x, 5x и 4x. Сумма этих частей составляет полную окружность, то есть 360 градусов. $$x + 2x + 5x + 4x = 360$$ $$12x = 360$$ $$x = \frac{360}{12} = 30$$ Теперь найдем градусные меры каждой дуги: * Дуга AB = 1 * 30 = 30 градусов * Дуга BC = 2 * 30 = 60 градусов * Дуга CD = 5 * 30 = 150 градусов * Дуга DA = 4 * 30 = 120 градусов Углы четырехугольника ABCD являются вписанными углами, и каждый из них опирается на дугу, образованную остальными вершинами четырехугольника. Мы можем найти каждый угол, как половину дуги, на которую он опирается: * Угол A опирается на дугу BCD. Дуга BCD = BC + CD = 60 + 150 = 210 градусов. Следовательно, угол A = 210 / 2 = 105 градусов. * Угол B опирается на дугу CDA. Дуга CDA = CD + DA = 150 + 120 = 270 градусов. Следовательно, угол B = 270 / 2 = 135 градусов. * Угол C опирается на дугу DAB. Дуга DAB = DA + AB = 120 + 30 = 150 градусов. Следовательно, угол C = 150 / 2 = 75 градусов. * Угол D опирается на дугу ABC. Дуга ABC = AB + BC = 30 + 60 = 90 градусов. Следовательно, угол D = 90 / 2 = 45 градусов. Ответ: Угол A = 105°, Угол B = 135°, Угол C = 75°, Угол D = 45°