Вероятность того, что на аппарате загорится зелёный свет, равна 0,4. Найдите вероятность того, что в семи запусках аппарата ровно три раза загорится зелёный свет.

Для решения этой задачи используем формулу Бернулли, которая определяет вероятность (k) успехов в (n) независимых испытаниях, где вероятность успеха в каждом испытании равна (p).

В нашем случае:

• (n = 7) (количество запусков аппарата)
• (k = 3) (количество раз, когда загорается зелёный свет)
• (p = 0.4) (вероятность того, что загорится зелёный свет в одном запуске)

Формула Бернулли выглядит следующим образом:

$$ P(k; n, p) = C_n^k * p^k * (1 - p)^{n - k} $$

Где (C_n^k) - это количество сочетаний из (n) по (k), которое можно вычислить как:

$$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$

В нашем случае:

$$ C_7^3 = \frac{7!}{3!(7 - 3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 * 6 * 5}{3 * 2 * 1} = 35 $$

Теперь подставим значения в формулу Бернулли:

$$ P(3; 7, 0.4) = 35 * (0.4)^3 * (1 - 0.4)^{7 - 3} = 35 * (0.4)^3 * (0.6)^4 $$

Таким образом, искомая вероятность:

$$ P = 35 \cdot 0.4^{3} \cdot 0.6^{4} $$

Ответ: $$35 \cdot 0.4^{3} \cdot 0.6^{4}$$