Верны ли определения? А) Дифференциал функции у = f(x) в точке х₀ — произведение производной функции f'(x₀) на приращение аргумента Δx. В) Если функция у = f(x) возрастает на интервале (a,b), то f'(x) > 0 на этом интервале. Подберите правильный ответ.

Решение:

Определение дифференциала: Дифференциал функции \( dy \) в точке \( x_0 \) равен произведению значения производной функции \( f'(x_0) \) на приращение аргумента \( \Delta x \). Формула: \( dy = f'(x_0) \cdot \Delta x \). Следовательно, утверждение А верно.

Признак возрастания функции: Если функция \( f(x) \) дифференцируема на интервале \( (a, b) \) и \( f'(x) > 0 \) для всех \( x \) из этого интервала, то функция \( f(x) \) возрастает на \( (a, b) \). И наоборот, если функция \( f(x) \) возрастает на \( (a, b) \) и дифференцируема, то \( f'(x) ≥ 0 \) на \( (a, b) \), и \( f'(x) = 0 \) только в отдельных точках. Таким образом, утверждение В, которое утверждает \( f'(x) > 0 \) строго, не всегда верно (например, для \( f(x) = x^3 \), \( f'(0) = 0 \), но функция возрастает). Однако, если функция возрастает, то её производная НЕОТРИЦАТЕЛЬНА. В данном контексте, утверждение В, как достаточное условие возрастания, считается верным в школьном курсе, но более точная формулировка связана с \( f'(x) ≥ 0 \).

Перепроверим утверждение В: Если функция возрастает, это значит, что для любых \( x_1 < x_2 \) из интервала \( (a,b) \) выполняется \( f(x_1) ≤ f(x_2) \). Если функция дифференцируема, то \( f'(x) ≥ 0 \). Строгое неравенство \( f'(x) > 0 \) гарантирует возрастание, но обратное утверждение (из возрастания следует \( f'(x) > 0 \)) не всегда верно. Например, \( y = x^3 \) возрастает на \( (-\infty, \infty) \), но \( y'(0) = 0 \).

Заключение: Утверждение А является верным определением дифференциала. Утверждение В является необходимым, но не достаточным условием для строгой монотонности, однако часто в школьном курсе рассматривается как верно. Если интерпретировать "возрастает" как "строго возрастает", то \( f'(x) > 0 \) является необходимым условием. Если "возрастает" как "не убывает", то \( f'(x) ≥ 0 \).

По условию задачи, если функция возрастает, то её производная НЕОТРИЦАТЕЛЬНА. Утверждение "f'(x) > 0" является слишком сильным. Поэтому утверждение В неверно.

Итак: А - верно, В - неверно.

Правильный ответ: А - да, В - нет.