2 вариант Решите уравнения: 1).log(-3 + x) = 1 2). log6+x 9 = 2 3). log(x + 17) = log(2x + 7) 4) log2(3x + 8) = log3(3 - x) + 1 5). (log3 x)2-3log3 x + 2=0 6) log(18x) = 4 log36 2 Дополнительно: 7) xlog2(x) = 16 8) 2 log5g(x) + log x - log: x = 8 5

Давай решим эти уравнения по порядку.

1) \(\log_6(-3 + x) = 1\)

По определению логарифма, \(-3 + x = 6^1\), следовательно, \[-3 + x = 6\]\[x = 6 + 3\]\[x = 9\]

Проверим: \[\log_6(-3 + 9) = \log_6(6) = 1\]

2) \(\log_{6+x} 9 = 2\)

По определению логарифма, \((6+x)^2 = 9\). Тогда \[(6+x)^2 = 9\]\[6+x = \pm 3\]

Получаем два случая:

a) \(6+x = 3\) => \(x = -3\)

б) \(6+x = -3\) => \(x = -9\)

Проверим: Для \(x = -3\): \(\log_{6-3} 9 = \log_3 9 = 2\). Подходит. Для \(x = -9\): \(\log_{6-9} 9 = \log_{-3} 9\). Не имеет смысла, так как основание логарифма должно быть положительным и не равным 1.

3) \(\log_6(x + 17) = \log_6(2x + 7)\)

Так как логарифмы с одинаковым основанием, приравниваем аргументы: \[x + 17 = 2x + 7\]\[2x - x = 17 - 7\]\[x = 10\]

Проверим: \[\log_6(10 + 17) = \log_6(27)\]\[\log_6(2 \cdot 10 + 7) = \log_6(27)\] Оба аргумента положительны и равны.

4) \(\log_2(3x + 8) = \log_3(3 - x) + 1\)

Это уравнение сложнее, и его решение может потребовать численных методов или графического анализа.

5) \((\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 = 0\)

Пусть \(y = \log_3 x\). Тогда уравнение принимает вид: \[y^2 - 3y + 2 = 0\]

Решаем квадратное уравнение: \[(y - 1)(y - 2) = 0\]

Получаем два решения для y: \(y_1 = 1\) и \(y_2 = 2\)

Возвращаемся к x: \[\log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3^1 = 3\]\[\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9\]

Проверим: Для \(x = 3\): \((\log_3 3)^2 - 3\log_3 3 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\). Подходит. Для \(x = 9\): \((\log_3 9)^2 - 3\log_3 9 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\). Подходит.

6) \(\log_6(18 - x) = 4 \log_{36} 2\)

Преобразуем правую часть: \[4 \log_{36} 2 = 4 \cdot \frac{\log_6 2}{\log_6 36} = 4 \cdot \frac{\log_6 2}{2} = 2 \log_6 2 = \log_6 2^2 = \log_6 4\]

Теперь уравнение: \[\log_6(18 - x) = \log_6 4\]

Приравниваем аргументы: \[18 - x = 4\]\[x = 18 - 4\]\[x = 14\]

Проверим: \[\log_6(18 - 14) = \log_6 4\]

7) \(x^{\log_2(x)} = 16\)

Прологарифмируем обе части по основанию 2: \[\log_2(x^{\log_2(x)}) = \log_2 16\]\[\log_2(x) \cdot \log_2(x) = 4\]\[(\log_2 x)^2 = 4\]\[\log_2 x = \pm 2\]

Получаем два случая: \[\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4\]\[\log_2 x = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \frac{1}{4}\]

Проверим: Для \(x = 4\): \(4^{\log_2 4} = 4^2 = 16\). Подходит. Для \(x = \frac{1}{4}\): \((\frac{1}{4})^{\log_2(\frac{1}{4})} = (\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16\). Подходит.

8) \(2 \log_{5\sqrt{5}}(x) + \log_{\sqrt{x}} x - \log_{\frac{1}{5}} x = 8\)

Сначала упростим основание первого логарифма: \[5\sqrt{5} = 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}\] Теперь можем переписать уравнение: \[2 \log_{5^{\frac{3}{2}}}(x) + \log_{x^{\frac{1}{2}}} x - \log_{5^{-1}} x = 8\]

Преобразуем каждый член: \[2 \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} \log_5 x + \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_x x - (-1) \log_5 x = 8\]\[\frac{4}{3} \log_5 x + 2 + \log_5 x = 8\]\[\frac{7}{3} \log_5 x = 6\]\[\log_5 x = \frac{18}{7}\]\[x = 5^{\frac{18}{7}}\]

Ответ: 1) x = 9; 2) x = -3; 3) x = 10; 5) x = 3, x = 9; 6) x = 14; 7) x = 4, x = 1/4; 8) x = 5^(18/7)