2 вариант 1.Через вершину С квадрата АВСД проведена прямая МС, перпендикулярная плоскости квадрата. Докажите, что прямые ВД и МО перпендикулярны, если точка О – точка пересечения диагоналей квадрата. 2.Диагонали квадрата пересекаются в точке Р. К плоскости квадрата через точку Р проведен перпендикуляр РО равный 5см. Найдите расстояние от точки О до вершин квадрата, если сторона квадрата равна 4см. 3. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АМ и ВК на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АМ = 3 м, ВК = 4 м, МК = 12 м.

Ответ:

1. Доказательство:

• Дано: Квадрат ABCD, MC ⊥ (ABCD), O - точка пересечения диагоналей.
• Доказать: BD ⊥ MO.
• Решение:
• Т.к. ABCD - квадрат, то BD ⊥ AC (диагонали квадрата перпендикулярны).
• MC ⊥ (ABCD), следовательно, MC ⊥ BD (прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости).
• BD перпендикулярна AC и MC, значит, BD перпендикулярна плоскости (AMC) (если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости).
• MO лежит в плоскости (AMC), следовательно, BD ⊥ MO.

2. Дано:

• ABCD - квадрат, P - точка пересечения диагоналей, PO ⊥ (ABCD), PO = 5 см, AB = 4 см.
• Найти: Расстояние от O до вершин квадрата.
• Решение:

Т.к. P - точка пересечения диагоналей квадрата, то AP = BP = CP = DP. Рассмотрим прямоугольный треугольник APO. AP - это половина диагонали квадрата, сторона которого равна 4 см. Диагональ квадрата равна \( a\sqrt{2} \), где a - сторона квадрата. Следовательно, диагональ квадрата равна \( 4\sqrt{2} \) см, а AP = \( \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см. Используем теорему Пифагора для треугольника APO: \[AO^2 = AP^2 + PO^2 = (2\sqrt{2})^2 + 5^2 = 8 + 25 = 33\] Следовательно, \( AO = \sqrt{33} \) см. Аналогично, расстояние от точки O до любой вершины квадрата одинаково и равно \( \sqrt{33} \) см.

Ответ: \( \sqrt{33} \) см.

3. Дано:

• А и В лежат в двух перпендикулярных плоскостях.
• AM и BK - перпендикуляры на прямую пересечения плоскостей.
• AM = 3 м, BK = 4 м, MK = 12 м.
• Найти: AB.
• Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMK. Тогда AK = \( \sqrt{AM^2 + MK^2} = \sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} \). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BKM. Тогда BK = 4 м и MK = 12 м. Проведем отрезок AL || MK. В итоге LK = AM = 3 м. Тогда BL = BK + KL = 4 + 3 = 7 м. Далее рассмотрим прямоугольный треугольник ALB. AL = MK = 12 м, BL = 7 м. AB = \( \sqrt{AL^2 + BL^2} = \sqrt{12^2 + 7^2} = \sqrt{144 + 49} = \sqrt{193} \).

Ответ: \( \sqrt{193} \) м.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил теорему Пифагора и не ошибся в вычислениях квадратных корней.

Уровень Эксперт: Помни, что в пространственных задачах важно уметь видеть прямоугольные треугольники и правильно применять теорему Пифагора.