Вариант 1 Задание 1. Вычислите: a) 2^(2+log_2 5); б) 49^(log_7 √5); в) log_(1/2) 28 - log_(1/2) 7; г) 2 log_6 2 + log_6 9. Задание 2. Найдите область определения функции y= log_6(4x - 1). Задание 3. Решите логарифмические уравнения: a) log_6(12-2x) = -2; б) log_4(x² + 3x) = log_4(x² + 3); в) lg²x - 3lgx + 2 = 0. Задание 4. Решите логарифмические неравенства: a) log_7(5x-4) ≥ 2; б) log_0.4(12x + 2) < log_0.4(10x + 16).

Решение заданий варианта 1

Задание 1. Вычислите:

а) \( 2^{2 + \log_2 5} \)

Давай разберем это выражение. Сначала вспомним свойства степеней и логарифмов.

Свойство степеней: \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \)

Основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \)

Тогда: \( 2^{2 + \log_2 5} = 2^2 \cdot 2^{\log_2 5} = 4 \cdot 5 = 20 \)

Ответ: 20

---

б) \( 49^{\log_7 \sqrt{5}} \)

Здесь нам потребуется несколько преобразований.

Представим 49 как \( 7^2 \), тогда выражение можно переписать как: \( (7^2)^{\log_7 \sqrt{5}} \) = \( 7^{2 \log_7 \sqrt{5}} \)

Теперь воспользуемся свойством логарифмов: \( n \log_a b = \log_a b^n \)

\( 7^{\log_7 (\sqrt{5})^2} = 7^{\log_7 5} = 5 \)

Ответ: 5

---

в) \( \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7 \)

Применим свойство логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \)

\( \log_{\frac{1}{2}} \frac{28}{7} = \log_{\frac{1}{2}} 4 \)

Так как \( (\frac{1}{2})^{-2} = 4 \), то \( \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2 \)

Ответ: -2

---

г) \( 2 \log_6 2 + \log_6 9 \)

Применим свойство логарифмов: \( n \log_a b = \log_a b^n \)

\( \log_6 2^2 + \log_6 9 = \log_6 4 + \log_6 9 \)

Теперь используем свойство: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \)

\( \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36 \)

Так как \( 6^2 = 36 \), то \( \log_6 36 = 2 \)

Ответ: 2

---

Задание 2. Найдите область определения функции \( y = \log_6(4x - 1) \)

Область определения логарифмической функции — это значения аргумента, при которых аргумент строго больше нуля.

Значит, нам нужно решить неравенство: \( 4x - 1 > 0 \)

Решаем неравенство: \( 4x > 1 \) \( x > \frac{1}{4} \)

Таким образом, область определения: \( x \in (\frac{1}{4}; +\infty) \)

Ответ: \( x > \frac{1}{4} \)

---

Задание 3. Решите логарифмические уравнения:

а) \( \log_6(12 - 2x) = -2 \)

Используем определение логарифма: \( a^{\log_a b} = b \), чтобы избавиться от логарифма:

\( 12 - 2x = 6^{-2} \) \( 12 - 2x = \frac{1}{36} \) \( 2x = 12 - \frac{1}{36} \) \( 2x = \frac{432 - 1}{36} \) \( 2x = \frac{431}{36} \) \( x = \frac{431}{72} \)

Ответ: \( x = \frac{431}{72} \)

---

б) \( \log_4(x^2 + 3x) = \log_4(x^2 + 3) \)

Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то и их аргументы должны быть равны:

\( x^2 + 3x = x^2 + 3 \) \( 3x = 3 \) \( x = 1 \)

Ответ: x = 1

---

в) \( \lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0 \)

Пусть \( y = \lg x \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 3y + 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \) \( y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \) \( y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \)

Теперь вернемся к замене:

1) \( \lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100 \)

2) \( \lg x = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10 \)

Ответ: x = 100, x = 10

---

Задание 4. Решите логарифмические неравенства:

a) \( \log_7(5x - 4) \ge 2 \)

Используем определение логарифма: если \( \log_a b \ge c \), то \( b \ge a^c \) (при \( a > 1 \))

\( 5x - 4 \ge 7^2 \) \( 5x - 4 \ge 49 \) \( 5x \ge 53 \) \( x \ge \frac{53}{5} \)

Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( 5x - 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{5} \). Это условие выполняется, если \( x \ge \frac{53}{5} \).

Ответ: \( x \ge \frac{53}{5} \)

---

б) \( \log_{0.4}(12x + 2) < \log_{0.4}(10x + 16) \)

Так как основание логарифма \( 0.4 < 1 \), то знак неравенства меняется на противоположный:

\( 12x + 2 > 10x + 16 \) \( 2x > 14 \) \( x > 7 \)

Теперь нужно проверить, чтобы оба аргумента были положительными:

1) \( 12x + 2 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{6} \)

2) \( 10x + 16 > 0 \Rightarrow x > -\frac{8}{5} \)

Все условия выполняются, если \( x > 7 \)

Ответ: \( x > 7 \)

Ответ: смотри выше решения каждого задания

Надеюсь, теперь тебе все понятно! Ты молодец, у тебя все получится! Не бойся трудностей и всегда стремись к знаниям! Ты сможешь все преодолеть!