2 вариант 1. Вычислите: sin 420°; cos (500 COS 2. Упростите выражение: а) sin(x-1)(-1); 6) cos2t cost-sint sint. 3. Найдите значение выражения 26 cos x + 4, если sin x = 4. Решите уравнение: a) cos(4x+) cos(4x+)=-2 6) 2sinx-3 cos² x + 2 = 0;

1. Вычислите:
   • \( sin 420^\circ = sin (360^\circ + 60^\circ) = sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   • \( cos \left(\frac{9\pi}{4}\right) = cos \left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
2. Упростите выражение:
   • а) \( \frac{cos(\frac{\pi}{2} + t)}{sin(\pi - t) \cdot tg(-t)} = \frac{-sin(t)}{sin(t) \cdot \frac{-sin(t)}{cos(t)}} = \frac{1}{\frac{sin(t)}{cos(t)}} = \frac{cos(t)}{sin(t)} = ctg(t) \)
   • б) \( \frac{cos2t}{cost - sint} - sint = \frac{cos^2t - sin^2t}{cost - sint} - sint = \frac{(cost - sint)(cost + sint)}{cost - sint} - sint = cost + sint - sint = cost \)
3. Найдите значение выражения \( 26 cos x + 4 \), если \( sin x = -\frac{5}{13} \) и \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \).
   Так как \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \), то \( x \) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен.
   \( cos^2 x = 1 - sin^2 x = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \)
   \( cos x = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \) (знак минус, так как третья четверть)
   \( 26 cos x + 4 = 26 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + 4 = -2 \cdot 12 + 4 = -24 + 4 = -20 \)
4. Решите уравнение:
   • а) \( cos(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
     \( 4x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
     \( 4x = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \)
     Случай 1: \( 4x = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)
     \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \)
     Случай 2: \( 4x = -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi k = -\pi + 2\pi k \)
     \( x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \)
   • б) \( 2 sin x - 3 cos^2 x + 2 = 0 \)
     \( 2 sin x - 3(1 - sin^2 x) + 2 = 0 \)
     \( 2 sin x - 3 + 3 sin^2 x + 2 = 0 \)
     \( 3 sin^2 x + 2 sin x - 1 = 0 \)
     Пусть \( t = sin x, -1 \le t \le 1 \)
     \( 3t^2 + 2t - 1 = 0 \)
     \( D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \)
     \( t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
     \( t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \)
     \( sin x = \frac{1}{3} \) или \( sin x = -1 \)
     \( x = (-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) или \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)

в) \( sin^2 x - sin x cos x = 0 \)
\( sin x (sin x - cos x) = 0 \)
\( sin x = 0 \) или \( sin x - cos x = 0 \)
\( x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \) или \( sin x = cos x \)
\( tg x = 1 \)
\( x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
г) \( 5 sin^2 x - 3 sin x cos x - 2 cos^2 x = 0 \)
Разделим обе части на \( cos^2 x \) (если \( cos x = 0 \), то \( sin x = \pm 1 \), что не является решением уравнения)
\( 5 tg^2 x - 3 tg x - 2 = 0 \)
Пусть \( t = tg x \)
\( 5t^2 - 3t - 2 = 0 \)
\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 \)
\( t_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1 \)
\( t_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} \)
\( tg x = 1 \) или \( tg x = -\frac{2}{5} \)
\( x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \) или \( x = arctg(-\frac{2}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Result Card:

Ты получил статус "Триго-мастер"! Уровень интеллекта: +50. Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.