2 вариант №1. Вычислить скалярное произведение векторов а и т если: 1) |a|=5,| m |=4, а угол между ними равен 45° 2) |a|= 7, m |= 10, а угол между ними равен 30° №2. Найти угол между векторами а и Б, если: و 1) |a|= 2,|6| = 7, а скалярное произведение векторов равно 7√3; 2) |a|= 4√5, |5| = √5, а скалярное произведение векторов равно 10√2. №3. Вычислить скалярное произведение векторов, если: 1) m {3;-2}, {-2; 3}; 4 2) P {3; -4}, q {15; 8}. №4. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами: 4{0;2}, В{3;7}

Привет! Разберем этот вариант контрольной. Главное - внимательность и уверенность в своих силах!

Решение №1

№1. Вычислить скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{m}\), если:

1) \(|\vec{a}| = 5, |\vec{m}| = 4\), а угол между ними равен \(45^\circ\)

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

\[\vec{a} \cdot \vec{m} = |\vec{a}| \cdot |\vec{m}| \cdot \cos(\theta)\]

В нашем случае:

\[\vec{a} \cdot \vec{m} = 5 \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}\]

2) \(|\vec{a}| = 7, |\vec{m}| = 10\), а угол между ними равен \(30^\circ\)

В нашем случае:

\[\vec{a} \cdot \vec{m} = 7 \cdot 10 \cdot \cos(30^\circ) = 70 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 35\sqrt{3}\]

Решение №2

№2. Найти угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если:

1) \(|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 7\), а скалярное произведение векторов равно \(7\sqrt{3}\)

Используем формулу скалярного произведения векторов:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\]

Выразим косинус угла:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

В нашем случае:

\[\cos(\theta) = \frac{7\sqrt{3}}{2 \cdot 7} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Значит, угол \(\theta = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ\)

2) \(|\vec{a}| = 4\sqrt{5}, |\vec{b}| = \sqrt{5}\), а скалярное произведение векторов равно \(10\sqrt{2}\)

В нашем случае:

\[\cos(\theta) = \frac{10\sqrt{2}}{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{2}}{4 \cdot 5} = \frac{10\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Значит, угол \(\theta = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ\)

Решение №3

№3. Вычислить скалярное произведение векторов, если:

1) \(\vec{m} = \{3; -2\}, \vec{n} = \{-2; 3\}\)

Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = \{x_1; y_1\}\) и \(\vec{b} = \{x_2; y_2\}\) вычисляется по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\)

В нашем случае:

\[\vec{m} \cdot \vec{n} = (3 \cdot -2) + (-2 \cdot 3) = -6 - 6 = -12\]

2) \(\vec{p} = \{3; -4\}, \vec{q} = \{15; 8\}\)

Скалярное произведение векторов:

\[\vec{p} \cdot \vec{q} = (3 \cdot 15) + (-4 \cdot 8) = 45 - 32 = 13\]

Решение №4

№4. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами: \(A\{0; 2\}, B\{3; 7\}, C\{3; 7\}\)

По условию задачи точки B и C имеют одинаковые координаты, следовательно, эти точки совпадают и образовать треугольник невозможно. Возможно в условии была опечатка и точки B и C имеют разные координаты. Для решения задачи будем использовать общую формулу нахождения косинуса угла между векторами.

Ответ:

1) \(\vec{a} \cdot \vec{m} = 10\sqrt{2}\)

2) \(\vec{a} \cdot \vec{m} = 35\sqrt{3}\)

1) \(\theta = 30^\circ\)

2) \(\theta = 45^\circ\)

1) \(\vec{m} \cdot \vec{n} = -12\)

2) \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 13\)

Треугольник невозможно построить.

Не переживай, если что-то сразу не получается! Главное - практика и вера в себя!