2 вариант 1. Вычислить: 1) log₂√3 12; 2) 6^(2log₆(8√2)); 3) ⁵/₃log₂√8 - 3log₅ 3 + ¹¹/₂log₅ 36. 2. На рисунке изображён график функции вида f(x) = logₐ x. Найдите значение f(25). 3. Решить уравнения a) log₂ x + log₄ x = 2 б) log₄(x-3)+log₄(x+1) = log₄ 21 4. Задание № 4. Решить систему уравнений: 「x - y = 40, √x + √y =10. 5. Решить уравнение: log₂(2ˣ-5) - log₂(2ˣ - 2) = 2-x

1. Вычислить:

1) log₂√3 12

Давай разберем по порядку. Сначала преобразуем выражение, используя свойства логарифмов.

log₂√3 12 = log_(2^(1/2)) 12 = 2log₂ 12 = 2log₂ (4 * 3) = 2(log₂ 4 + log₂ 3) = 2(2 + log₂ 3) = 4 + 2log₂ 3

Ответ: 4 + 2log₂ 3

2) 6^(2log₆(8√2))

Сначала упростим показатель степени.

2log₆(8√2) = log₆( (8√2)² ) = log₆(64 * 2) = log₆ 128

Теперь вернемся к исходному выражению.

6^(log₆ 128) = 128

Ответ: 128

3) ⁵/₃log₂√8 - 3log₅ 3 + ¹¹/₂log₅ 36

Разберем каждый логарифм по отдельности.

⁵/₃log₂√8 = ⁵/₃log₂ (2^(3/2)) = ⁵/₃ * ³/₂ = ⁵/₂

-3log₅ 3 + ¹¹/₂log₅ 36 = log₅ (3^(-3)) + log₅ (36^(11/2)) = log₅ (3^(-3) * 36^(11/2)) = log₅ ( (6^2)^(11/2) / 3^3 ) = log₅ ( 6^11 / 3^3 ) = log₅ ( (2*3)^11 / 3^3 ) = log₅ ( 2^11 * 3^11 / 3^3 ) = log₅ (2^11 * 3^8)

Теперь сложим все вместе.

⁵/₂ + log₅ (2^11 * 3^8)

Ответ: ⁵/₂ + log₅ (2^11 * 3^8)

2. На рисунке изображён график функции вида f(x) = logₐ x. Найдите значение f(25).

К сожалению, по изображению невозможно определить точное значение a. Нужно больше данных для этого.

Невозможно решить.

3. Решить уравнения

a) log₂ x + log₄ x = 2

Приведем логарифмы к одному основанию. log₄ x = log₂ x / log₂ 4 = log₂ x / 2

log₂ x + log₂ x / 2 = 2

³/₂ log₂ x = 2

log₂ x = ⁴/₃

x = 2^(4/3) = 2 * 2^(1/3) = 2√[3]2

Ответ: x = 2√[3]2

б) log₄(x-3)+log₄(x+1) = log₄ 21

Используем свойство суммы логарифмов: logₐ b + logₐ c = logₐ (b*c)

log₄( (x-3)(x+1) ) = log₄ 21

(x-3)(x+1) = 21

x² - 2x - 3 = 21

x² - 2x - 24 = 0

Решим квадратное уравнение: D = (-2)² - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100

x₁ = (2 + √100) / 2 = (2 + 10) / 2 = 6

x₂ = (2 - √100) / 2 = (2 - 10) / 2 = -4

Проверим корни: x = 6: log₄(6-3) + log₄(6+1) = log₄(3) + log₄(7) = log₄(21). Подходит.

x = -4: log₄(-4-3) + log₄(-4+1) - логарифмы не определены. Не подходит.

Ответ: x = 6

4. Задание № 4. Решить систему уравнений:

x - y = 40

√x + √y = 10

Выразим x через y: x = y + 40

Подставим в уравнение с корнями:

√(y + 40) + √y = 10

√(y + 40) = 10 - √y

Возведем обе части в квадрат:

y + 40 = 100 - 20√y + y

20√y = 60

√y = 3

y = 9

Тогда x = y + 40 = 9 + 40 = 49

Ответ: x = 49, y = 9

5. Решить уравнение:

log₂(2ˣ-5) - log₂(2ˣ - 2) = 2-x

Используем свойство разности логарифмов: logₐ b - logₐ c = logₐ (b/c)

log₂((2ˣ-5) / (2ˣ - 2)) = 2 - x

(2ˣ-5) / (2ˣ - 2) = 2^(2-x) = 4 / 2ˣ

Пусть t = 2ˣ.

(t - 5) / (t - 2) = 4 / t

t(t - 5) = 4(t - 2)

t² - 5t = 4t - 8

t² - 9t + 8 = 0

D = (-9)² - 4 * 1 * 8 = 81 - 32 = 49

t₁ = (9 + √49) / 2 = (9 + 7) / 2 = 8

t₂ = (9 - √49) / 2 = (9 - 7) / 2 = 1

Если t = 8, то 2ˣ = 8, значит x = 3.

Если t = 1, то 2ˣ = 1, значит x = 0.

Проверим корни: x = 3: log₂(2³-5) - log₂(2³ - 2) = log₂(8-5) - log₂(8 - 2) = log₂3 - log₂6 = log₂(3/6) = log₂(1/2) = -1

2 - x = 2 - 3 = -1. Подходит.

x = 0: log₂(2⁰-5) - log₂(2⁰ - 2) = log₂(1-5) - log₂(1 - 2) = log₂(-4) - log₂(-1). Логарифмы не определены. Не подходит.

Ответ: x = 3