Вариант V 1. Сформулируйте свойство биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса BD, ∠ABD=37°, АС=25 см. Найдите ZB, ZBDC и DC. 3. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием DE проведена биссектриса CF. Найдите СР, если периметр тре- угольника CDE равен 84 см, а треугольника CFE - 56 см Ba VI

1. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника

Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.

2. В равнобедренном треугольнике ABC

Дано: Треугольник ABC - равнобедренный, AC - основание, BD - биссектриса, ∠ABD = 37°, AC = 25 см. Найти: ∠B, ∠BDC, DC.

Решение:

1. Т.к. BD - биссектриса, то ∠ABC = 2 * ∠ABD = 2 * 37° = 74°.
2. Т.к. BD - биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то BD является высотой и медианой. Следовательно, ∠BDC = 90° и DC = AC / 2 = 25 / 2 = 12.5 см.

Ответ:

1. ∠B = 74°
2. ∠BDC = 90°
3. DC = 12.5 см.

Ответ: ∠B = 74°; ∠BDC = 90°; DC = 12.5 см

3. В равнобедренном треугольнике CDE

Дано: Треугольник CDE - равнобедренный, DE - основание, CF - биссектриса, P(CDE) = 84 см, P(CFE) = 56 см. Найти: DF.

Решение:

1. Т.к. CF - биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то CF является медианой, следовательно, DF = FE.
2. Пусть CD = CE = x см, DE = y см. Тогда периметр треугольника CDE: $$P_{CDE} = CD + DE + CE = x + y + x = 2x + y = 84 \text{ см}.$$
3. Периметр треугольника CFE: $$P_{CFE} = CF + FE + CE = CF + FE + x = 56 \text{ см}.$$
4. Т.к. CF - медиана, то F - середина DE, значит, FE = DE / 2 = y / 2.
5. Выразим CF из второго уравнения: $$CF = 56 - x - FE = 56 - x - \frac{y}{2}$$ Так как CF - биссектриса, высота и медиана, то CF лежит на одной прямой.
6. Выразим DE из первого уравнения: $$DE = 84 - 2x \rightarrow FE = \frac{DE}{2} = \frac{84 - 2x}{2} = 42 - x$$ Тогда $$P_{CFE} = CF + FE + CE = 56$$ $$CE + FE = 56 - CF$$ $$P_{CDE} = 84$$
7. Т.к. CF - биссектриса, то F - середина DE, значит, DF = DE/2.
8. Выразим FE: $$P_{CFE} = CF + FE + CE = 56 \text{ см}$$ Т.к. CE = CD, то FE = DE/2 $$FE = \frac{DE}{2}$$ $$P_{CDE} = 84 \text{ см}$$ $$2CD + DE = 84$$ и $$CD + FE + CF = 56$$
9. Выразим CD из $$P_{CDE}$$ $$CD = \frac{84 - DE}{2}$$ Подставим CD в $$P_{CFE}$$ $$CD + FE + CF = 56$$ $$ \frac{84 - DE}{2} + FE + CF = 56$$ Т.к. FE = DE/2 $$ \frac{84 - DE}{2} + \frac{DE}{2} + CF = 56$$ Перенесем CF: $$CF = 56 - \frac{84 - DE}{2} - \frac{DE}{2} = 56 - 42 + \frac{DE}{2} - \frac{DE}{2} = 14$$ $$CF = 14$$ CD и CE будут равны, обозначим за x, а DE - за y. Периметр треугольника CDE - 84 см: $$x + x + y = 84$$ $$2x + y = 84$$ Т.к. DF = FE, то DF = y/2 $$y = 84 - 2x$$ Т.к. CF = 14: $$x + \frac{y}{2} + 14 = 56$$ $$x + \frac{y}{2} = 42$$ Подставим y/2 из предыдущего: $$x + \frac{84 - 2x}{2} = 42$$ $$x + 42 - x = 42$$ $$0 = 0$$ Нужно выразить одну переменную, а затем подставить ее в другую формулу. Пусть CE = x, FE = y. Тогда периметр CFE - 56 см $$x + y + CF = 56$$ $$CF = 56 - x - y$$ Т.к. FE = DE/2 и треугольник CDE равнобедренный, то CD = x $$x + x + 2y = 84$$ $$2x + 2y = 84$$ $$x + y = 42$$ Получается, что CF = 56 - 42 = 14 см $$CF = 14$$ По теореме Пифагора можно найти FE: $$CF^2 + FE^2 = CE^2$$ $$14^2 + FE^2 = x^2$$ $$196 + FE^2 = x^2$$ Т.к. $$x = 42 - y$$ $$196 + FE^2 = (42 - FE)^2$$ $$196 + FE^2 = 1764 - 84FE + FE^2$$ $$196 = 1764 - 84FE$$ $$84FE = 1568$$ $$FE = 18.666$$ $$DF = FE = 18.666$$

Ответ: DF ≈ 18.67 см.