Вариант 2 В каждой из задач сделайте чертёж и запишите обоснованное решение. 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите: А) величину угла между прямыми АС и DB1; Б) величину угла между прямой АА, и плоскостью (АВС₁); В) косинус угла между плоскостями (BDA₁) и (BDC1). 2. В правильном тетраэдре АBCD точки К и М Найдите: А) величину угла между прямыми КМ и ВС; середины рёбер соответственно сторон AD и BD. Б) величину угла между прямой AD и плоскостью (ВКС); В) косинус угла между плоскостями (ADC) и (BDC).

Задание 1

Краткое пояснение:

1. Куб ABCDA₁B₁C₁D₁

A) Величина угла между прямыми AC и DB₁:

Логика такая:

1. AC и DB₁ — скрещивающиеся прямые.
2. Проведем прямую B₁C₁ || AC, тогда угол между DB₁ и B₁C₁ равен углу между AC и DB₁.
3. Угол DB₁C₁ равен 90°, так как DB₁ — диагональ грани, а B₁C₁ — сторона куба.

Ответ: 90°

Б) Величина угла между прямой AA₁ и плоскостью (ABC₁):

Разбираемся:

1. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
2. Проекция AA₁ на плоскость (ABC₁) — это AC₁.
3. Угол A₁AC₁ равен 45°, так как AA₁C₁A₁ — квадрат.

Ответ: 45°

В) Косинус угла между плоскостями (BDA₁) и (BDC₁):

Логика такая:

1. Найдем линию пересечения плоскостей (BDA₁) и (BDC₁). Это BD.
2. Опустим перпендикуляр A₁O из точки A₁ на BD.
3. Опустим перпендикуляр C₁O из точки C₁ на BD.
4. Угол между плоскостями (BDA₁) и (BDC₁) — это угол A₁OC₁.
5. Так как A₁OC₁ — равнобедренный треугольник (A₁O = C₁O), угол A₁OC₁ равен 60°.
6. cos(60°) = 1/2

Ответ: 1/2

Задание 2

Краткое пояснение:

2. Правильный тетраэдр ABCD

А) Величина угла между прямыми KM и BC:

Смотри, тут всё просто:

1. KM — средняя линия треугольника ABD, следовательно KM || AB.
2. Угол между KM и BC равен углу между AB и BC.
3. Так как тетраэдр правильный, угол ABC равен 60°.

Ответ: 60°

Б) Величина угла между прямой AD и плоскостью (BKC):

Разбираемся:

1. Опустим перпендикуляр из точки A на плоскость (BKC). Пусть это будет точка H.
2. Угол между AD и (BKC) — это угол между AD и DH.
3. Так как тетраэдр правильный, DH является высотой и медианой треугольника BDC.
4. Угол ADH равен 90°.

Ответ: 90°

В) Косинус угла между плоскостями (ADC) и (BDC):

Логика такая:

1. Угол между плоскостями (ADC) и (BDC) — это угол между высотами, проведенными из точек A и B на ребро DC.
2. Так как тетраэдр правильный, эти высоты равны, и угол между ними равен 60°.
3. cos(60°) = 1/2

Ответ: 1/2

Проверь себя: Убедись, что все найденные углы и косинусы соответствуют свойствам куба и правильного тетраэдра.

Читерский прием: Запомни основные углы между прямыми и плоскостями в кубе и тетраэдре, чтобы быстрее решать подобные задачи.