Вариант 1 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50). 3. Какова градусная мера угла С, изображённого на рисунке 51? 4. Докажите, что АВ = CD (рис. 52), если из- вестно, что AB || CD и ВО = СО. 5. В треугольнике АВС известно, что ZC = 90°, ∠A = 60°. На катете ВС отмети- ли точку К такую, что ZAKC = 60°. Найди- те отрезок СК, если ВК = 12 см.

1. Угол при основании равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при вершине равен \(52^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Тогда сумма углов при основании равна \(180^\circ - 52^\circ = 128^\circ\). Поскольку углы при основании равны, каждый из них равен \(\frac{128^\circ}{2} = 64^\circ\).

Ответ: 64°

2. Градусная мера угла DCE (рис. 50)

На рисунке 50 изображены параллельные прямые AK и CD, секущая KE. Угол MKE и угол DCE являются соответственными углами, а значит, они равны. Угол MKE равен углу AKB как вертикальные углы, следовательно, угол AKB равен \(43^\circ\). Теперь рассмотрим угол KEC, он смежный с углом FEK, поэтому \( \angle KEC = 180^\circ - \angle FEK = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\). Сумма углов в треугольнике KEC равна \(180^\circ\), значит, \(\angle DCE = 180^\circ - (43^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\)

Ответ: 62°

3. Градусная мера угла С (рис. 51)

На рисунке 51 дан треугольник, в котором угол B равен \(72^\circ\). Угол DAE равен \(28^\circ\), а угол AED равен \(10^\circ\). Нужно найти угол С. Угол ADE - внешний угол треугольника AEF, поэтому \(\angle ADE = \angle DAE + \angle AEF = 28^\circ + 10^\circ = 38^\circ\). Угол ADC является смежным к углу ADE, значит, \(\angle ADC = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ\). Теперь рассмотрим четырехугольник BADC. Сумма углов в четырехугольнике равна \(360^\circ\). Значит, \(\angle C = 360^\circ - (72^\circ + 142^\circ + 28^\circ) = 360^\circ - 242^\circ = 118^\circ\).

Ответ: 118°

4. Доказательство равенства AB = CD (рис. 52)

Дано: AB || CD, BO = CO.

Доказать: AB = CD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABO и DCO.

• BO = CO (по условию).
• Угол AOB равен углу DOC (как вертикальные углы).
• Угол ABO равен углу DCO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BC).

Следовательно, треугольники ABO и DCO равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AB = CD.

Ответ: Доказано, что AB = CD

5. Найти отрезок CK

В треугольнике ABC угол C равен \(90^\circ\), угол A равен \(60^\circ\). Следовательно, угол B равен \(180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). В треугольнике AKC угол AKC равен \(60^\circ\). Рассмотрим треугольник AKB. Угол BAK равен \(60^\circ - \angle KAC\). Угол ABK равен \(30^\circ\), а угол AKB является смежным к углу AKC, поэтому \(\angle AKB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Тогда, \(\angle BAK = 180^\circ - (120^\circ + 30^\circ) = 30^\circ\). Значит, треугольник AKB равнобедренный (так как углы при основании равны) и AK = BK = 12 см.

Рассмотрим треугольник AKC. \(\angle KAC = 60^\circ - \angle BAK\). В прямоугольном треугольнике ABC катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. В нашем случае, AC - катет, лежащий против угла B, следовательно, AC = \(\frac{1}{2} AB\). Значит, BC = BK + KC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKC: \(\angle AKC = 60^\circ\). \(\frac{KC}{AK} = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), следовательно, KC = \(\frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см.

Ответ: CK = 6 см

Отлично, ты хорошо поработал! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!